Nouveaux points de vue en dynamique rationnelle à plusieurs variables – Fatou

FATOU est un projet de mathématiques pures, dans le champs des systèmes dynamiques. Son objet est l'étude de l'espace des phases et de l'espace des paramètres de systèmes dynamiques holomorphes de plusieurs variables complexes. Des développements récents dans le champs de recherche suggèrent que ces systèmes dynamiques peuvent avoir des propriétés fondamentalement différentes de celles des systèmes dynamiques holomorphes en dimension 1, comme par exemple des composants de Fatou errantes ou des ouverts de bifurcations dans les espaces de paramètres. L'ambition de ce projet est de considérer ces problèmes sous un angle nouveau.


Classiquement, les espaces de phase et de paramètre peuvent être décrits comme l'union d'une partie stable et d'une partie chaotique. Il s'agit d'un problème majeur en théorie des systèmes dynamiques d'étudier précisément les descriptions dynamiques possibles de cette dichotomie.
Dans le context des systèmes dynamiques holomorphes, la description des deux espaces (dynamique et paramètre) est en quelque sorte plus délicate.Par exemple, dans l'espace dynamique d'un endomorphisme de P^k, il y a une filtration de la partie chaotique de la dynamique qui est naturellement donnée par ses courant de Green successifs, et de façon similaire, dans l'espace des paramètres d'une famille de fractions rationnelles de P^1 le lieu de bifurcation est filtré par les courants de bifurcations successifs.

L'idée principale de ce projet est de réunir de jeunes chercheurs spécialistes de systèmes dynamiques nholomorphes à plusieurs variables, ou spécialistes d'espaces de paramètres en dynamique holomorphe à une variable pour étudier à la fois la dynamique topologique des transformations holomorphes et birationnelles de P^k et les phénomènes qui apparaissent dans les espaces de paramètres de familles holomorphes d'applications rationnelles de P^k. Plus précisément, nous voulons :
- étudier la structure des ensembles oméga-limites des composantes de Fatou errantes des endomorphismes de P^k et d'identifier des conditions arithmétiques ou métriques suffisantes assurant l'absence de composantes errantes,
- mettre en lumière des comportements dynamiques sophistiquées inattendues pour des transformations birrationnelles,
- comprendre de nouveaux phénomènes responsables de l'existence d'ouverts de bifurcation et de phénomènes de bifurcations d'ordre supérieur dans les familles d'endomrphismes de P^k.

Le partenaire du projet est Amiens et l'équipe comporte en 7 jeunes chercheurs ou enseignants-chercheurs permanents qui sont actifs dans le domaine.

Un autre objectif du projet est e promouvoir ce champs de recherche auprès d'une audience assez générale et de promouvoir une homogénéisation rapide des connaissances mathématiques au sein du groupe. A cette fin, nus organiserons deux rencontres annuelles, qui permettront de se tenir informés des avancées récentes dans le domaine, et de présenter les travaux en cours au sein de l'équipe. Une conférence internationale sera organisée en fin de période de financement afin de faire le bilan des progrès réalisés dans le domaine durant la durée du projet, et mettre en valeur les contributions de ses membres.

Nous avons choisi l'acronyme FATOU en référence à Pierre Fatou, l'un des chercheurs historiquement importants dans le domaine au début du XXe siècle.