Topologie quantique et géométrie de contact – Quantact

Les invariants modernes de topologie de basse dimension naissent de la rencontre entre géométrie symplectique, physique mathématique, topologie géométrique et systèmes dynamiques. Lorsque les noeuds représentent des particules en théorie des cordes, un grand nombre de structures algébriques émergent de leurs invariants, comme les TQFT et les opérations A-infinies. Une nouvelle source de tels invariants provient des géométries symplectiques et de contact via l'utilisation des courbes holomorphes et des homologies de type Floer associées.
Ces dernières années, on a compris comment ceux-ci interagissent avec les méthodes topologico-algébriques classiques. L'homologie de Heegaard-Floer a révolutionné le monde des invariants de noeuds en apparaissant comme une catégorification du polynôme d'Alexander. L'homologie de Khovanov, d'origine algébrique, catégorifie le polynôme de Jones et a maintenant également sa version géométrique, obtenue par une homologie de Floer lagrangienne spécifique : l'homologie de Khovanov symplectique décrite par Seidel et Smith. L'homologie de contact legendrienne donne également de nouveaux invariants de noeuds lisses, au travers de la construction conormale, à nouveau reliés à l'homologie de Khovanov. Dans ces théories, la différentielle compte des courbes holomorphes dans une variété symplectique. La récursion topologique de Eynard et Orantin fournit des formules pour cela et notre espoir est de l'utiliser pour obtenir une catégorification des invariants de Reshetikin-Turaev.

L'objectif du projet est d'interpréter à l'aide de la géométrie symplectique certains des invariants principaux de la topologie quantique et réciproquement d'étudier de manière systématique les propriétés algébriques des nouveaux invariants provenant des constructions de contact ou symplectique. Un exemple typique est l'étude d'une version cylindrique de l'homologie de Khovanov symplectique que nous aimerions étendre aux entrelacs dans une variété de dimension 3 quelconque et pour laquelle des compétences croisées sont nécessaires.

Le projet rassemble des membres actifs des communautés de géométrie de contact et symplectique, de topologie de basse dimension et théorie des noeuds, des systèmes dynamiques et de physique mathématique qui ont la volonté d'apprendre les uns des autres. Il a été volontairement gardé de taille réduite pour le rendre plus efficace. L'objectif est de créer de nouveaux groupes ramassés et actifs de collaborateurs de 2 à 4 personnes.
Un succès du projet serait que chaque membre parvienne à publier un article hors de son domaine de recherche actuel.