Percolation et percolation de premier passage – PPPP

Nous projetons d'étudier les aspects mathématiques de la percolation et de la percolation de premier passage. Nous ne nous focaliserons pas sur la percolation critique en dimension 2, dont l'étude fait intervenir des outils spécifiques tels que le processus SLE introduit par Schramm en 1999, et qui était par exemple le sujet de l'ANR MAC2 (ANR-10-BLAN-0123).

Imaginons que l'on immerge une grande pierre poreuse dans l'eau. Intéressons-nous aux deux problèmes voisins suivants.
- Quelle est la probabilité que le centre de la pierre devienne mouillé ?
- Quel temps faut-il pour que le centre de la pierre devienne mouillé ?

La percolation est un modèle pour le premier problème. Il peut se voir comme l'étude des propriétés de connexité des graphes aléatoires. Les arêtes modélisent les canaux microscopiques que l'eau peut emprunter. Ce modèle a été introduit par Broadbent et Hammersley en 1957.

La percolation de premier passage est un modèle pour le second problème. Il peut se voir comme l'étude des distances aléatoires sur un graphe. La longueur aléatoire d'une arête modélise le temps nécessaire à l'eau pour s'écouler le long du canal microscopique associé. Le modèle peut également s'interpréter comme un modèle de croissance aléatoire ou comme un modèle de compétition. Il a été introduit par Hammersley et Welsh en 1965.

Les deux modèles sont étroitement liés. Cela se lit dans leur définition : la percolation de premier passage est un raffinement de la percolation. Mais cela se voit également dans l'ensemble des idées et outils (renormalisation, couplages, inégalités FKG et BK, ...) qui interviennent communément dans leur étude. La théorie de ces modèles est bien développée, au moins dans le cadre standard (le cadre i.i.d. sur Z^d). Il reste cependant de nombreuses questions importantes et stimulantes dont plusieurs conjectures anciennes. Des progrès significatifs ont été faits récemment sur ces sujets, dont certains par des membres de l'équipe, ce qui permet d'espérer de nouvelles avancées significatives dans la compréhension de ces modèles.

Nous voyons ces conjectures comme un fil conducteur stimulant dans nos recherches. Nous ambitionnons de progresser sur ces questions mais, plus généralement, notre objectif est d'étudier la percolation, la percolation de premier passage et leurs liens, à la fois dans le cadre standard et dans des cadres moins standard.