Géométrie Spectrale, Graphes et Semiclassique – GeRaSic

Ce projet a pour but d'explorer de nouvelles directions en géométrie spectrale. Ce terme est pris dans un sens très général qui englobe notamment la géométrie des espaces de modules, la théorie spectrale dans le régime semiclassique et ses applications au chaos quantique, la quantification des systèmes dynamiques (en particulier hyperboliques) et la théorie spectrale sur des graphes.

La géométrie spectrale essaie de comprendre comment le spectre d'opérateurs géométriquement pertinents dépend de cette dernière. Dans ce cadre, une problématique naturelle consiste à essayer de suivre certaines quantités spectrales quand les paramètres géométriques varient. Nous proposons d'étudier de façon systématique certaines caractéristiques spectrales vues comme des fonctions sur l'espace des modules ou, plus généralement sur la variété des métriques. On cherchera à établir des propriétés génériques, moyennées ou presque sûres.

L'analyse semiclassique vise à comprendre comment la mécanique quantique est influencée par la dynamique classique sous-jacente. Dans ce cadre, les mesures semiclassiques jouent un rôle privilégié. Elles sont au coeur du théorème d'ergodicité quantique qui est un des résultats fondateurs de la théorie du chaos quantique. Bien que des progrès spectaculaires aient été accomplis ces dix dernières années, plusieurs questions restent posées et de nouvelles sont apparues. Parmi celles-ci nous pensons étudier les systèmes satisfaisant des hypothèses affaiblies d'hyperbolicité, les systèmes ouverts et les lois de Weyl fractales ainsi que l'utilisation de méthodes semiclassiques pour le chaos classique.

Les graphes, et en particulier les opérateurs de Schrödinger sur les graphes sont des cadres naturels pour les recherches spectrales. Sur les graphes non-compacts, les conditions précises assurant qu'un opérateur de Schrödinger (éventuellement magnétique) est autoadjoint ne sont pas complètement élucidées. C'est une question intéressante et y répondre ouvrirait la voie à de nombreuses questions classiques de théorie spectrale.
Une autre direction que l'on compte explorer concerne l'analogie formelle entre les arbres réguliers hyperboliques et les variétés hyperboliques. On aimerait ainsi construire un calcul pseudodifférentiel adapté dans ce cadre.

Des rencontres régulières, colloques et deux conférences internationales nous aiderons à développer ces thèmes et les collaborations internes au projet et externes. L'octroi d'une bourse post-doctorale participera aussi au succès du projet.