Valuations, Combinatoire et Théorie des Modèles – ValCoMo

Le programme scientifique a été divisé en quatre tâches scientifiques, chacun sous-divisé en sous-tâches :
1. La théorie des modèles des corps valués et des espaces de Berkovich
• expansions de corps valués (paires séparés, expansions d'ACVF par un sous-groupe multiplicatif, imaginaires dans les corps valués enrichis, corps valués Henséliens).
• espaces de Berkovich (géométrie réelle différentielle et apprivoisé par la théorie des modèles).
• mesures génériquement stables dans ACVF.
• corps globalement valués.
2. Applications en géométrie algébrique et arithmétique.
• hauteur.
• Manin-Mumford sur des surfaces abéliens.
• équations exponentielles et le corps de Zilber.
• corps différentiels.
• corps aux différences.
3. Structures pseudo-finis, mesures et combinatoire additive.
• applications de la théorie des modèles en combinatoire additive (sous-groupes approximatifs relativement compacts, variétés presque plats, homomorphismes approximatifs).
• la théorie des modèles des structures pseudo-finies et mesures (mesures induisant l'indépendance, logique probabiliste, enveloppes définissables, structures mesurables, égalité de Larsen-Pink).
4. Outils modèle-théoriques et neostabilité.
• complexité de la déviation (fardeau, trichotomie de Zilber, hierarchie de l'ampleur, la propriété de la base canonique).
• définissabilité et type-définissabilité (éliminations des hyperimaginaires et enveloppes définissables, définissabilité de types, ultraimaginaires).
• groupes et corps neostables (conditions de chaîne, théorème du stabilisateur, groupes C-minimaux, corps néostables).
Toutes les quatre tâches impliquent des membres des trois partenaires.

Tache 1.
Analogue géométrique de la fonction des hauteurs pour les compactifications équivariantes de l'espace affine.
Application de la théorie des modèles des corps valués à l'étude des espaces de Berkovich.
Etude des corps séparablement clos de degré d'imperfection fini.
Elimination des quantificateurs dans certaines expansions de corps valués.
Ax-Kochen pour la préservation de l’inp-minimalité pour les corps valués d’équicaractéristique 0.
Tache 2.
Preuves simples modèle-théorique de certaines implications entre les théorèmes de Manin-Mumford et de Mordell-Lang.
Théorème de type Ax-Lindemann pour des produits de courbes de Shimura. Une réponse complète à la conjecture de Manin-Mumford relative.
Elimination géométrique des imaginaires pour les variétés compactes complexes muni d'un automorphisme générique, et propriété de base canonique pour les types de dimension finie.
Tache 3.
Des liens entre la combinatoire (problème de Zarankiewich, lemme de régularités de Szemeredi, propriété forte d'Erdös-Hajnal) et la néostabilité.
Existence d'un quotient localement compact définissable d'un sous-groupe approximatif définissablement moyennable.
Existence d'un grand sous-groupe abélien dans un groupe pseudofini avec presque condition de chaîne sur les centralisateurs.
Tache 4.
Etude de la théorie des modèles d'immeubles aux angles droits.
Etude de divers expansions d'une structure supersimple de rang SU oméga.
Caractérisation des automorphismes bornés d'un corps ou d'un groupe sans presque-centre dans une théorie simple.
Etude du fardeau et des invariants cardinaux reliés.
Etude modèle-théorique des corps pseudo-réels clos, pseudo-p-adiquement clos, et des corps dp-minimaux.
Etude des groupes définissablement moyennables, NTP2, et des groupes presque Mc (types génériques, enveloppes définissables, sous-groupe de FItting).
Etude d'enrichissements des théories NIP (imaginaires, types invariants ou définissables).

Evénements marquants de la première période:
Semestre Model Theory, Arithmetic Geometry and Number Theory, MSRI Berkeley, janvier - mai 2014, avec trois conférences (Introductory Workshop: Model Theory, Arithmetic Geometry and Number Theory, 3 - 7 février 2014 ; Connections for Women: Model Theory and Its Interactions with Number Theory and Arithmetic Geometry, 10/11 février 2014 ; Model Theory in Geometry and Arithmetic, 12 - 18 mai 2014).
Conférence Model Theory, Difference/Differential Equations and Applications, CIRM, 7 - 10 avril 2015.
Evènements marquants de la deuxième période:
Conférence Néostabilité, BIRS, Oaxaca, 12 - 17 juillet 2015, centrée sur la tâche 4..
Rencontre Model theory of fields: derivations, orders and valuations, Paris, 2/3 juin 2016.
Séminaire interdisciplinaire Géométrie et Théorie des Modèles.
Deux séries de cours par E. Hrushovski: Topics in pseudo-finite model theory (tâche 3) et Towards a model theory of global fields (tâche 1).
Perspectives: Trimestre thématique Model theory, combinatorics and tame valued fields à l’IHP, Paris, 8 janvier - 5 avril 2018, avec une école introductoire au CIRM, 8 - 12 janvier 2018 et trois conférences, dont une centrée sur les applications en combinatoire (tâche 3), une sur les coprs valués (tâche 1), et une conférence générale.

Baudisch MARTIN-PIZARRO Ziegler A Model Theoretic Study of Right-Angled Buildings JEMS
Bays HILS Moosa Model Theory of Compact Complex Manifolds with an Automorphism TAMS
BENOIST BOUSCAREN Pillay On function field Mordell-Land and Manin-Mumford JML
BERTRAND Generalized jacobians and Pellian polynomial JThNB
- Kummer theory for abelian varieties over function fields OWR
BERTRAND Masser Pillay Zannier Relative Manin-Mumford for semi-abelian surfaces PEdMS
BERTRAND Pillay Galois theory, functional Lindemann-Weierstrass, and Manin maps PJM
BLOSSIER MARTIN-PIZARRO WAGNER A la recherche du tore perdu JSL
BLOSSIER Hardouin MARTIN PIZARRO Sur les automorphismes bornés de corps munis d'opérateurs MRL
Caycedo HILS Bad fields with torsion JSL
CHAMBERT-LOIR LOESER Motivic height zeta functions ALM
CHATZIDAKIS Harrison-Trainor Moosa Differential-algebraic jet spaces preserve internality to the constants JSL
CHATZIDAKIS Perera A criterion for p-Henselianity in characteristic p BBMS
CHERNIKOV Starchenko Regularity lemma for distal structures JEMS
Cubides-Kovacsics DELON Definable types over algebraically closed fields MLQ
DELON SIMONETTA Abelian C-minimal valued groups APAL
HEMPEL On n-dependent groups and fields MLQ
HEMPEL Onshuus Groups in NTP2 IJM
Jahnke SIMON Walsberg Dp-minimal valued fields JSL
MONTENGRO Pseudo real closed field, pseudo p-adic closed fields and NTP2 APAL
MASSICOT WAGNER Approximate subgroups JEP
Palacin WAGNER A Fitting Theorem for Simple Theories BLMS
RIDEAU Imaginaries and invariant types in existentially closed valued differential fields CRELLE
- Some properties of analytic difference valued fields JIMJ
RIDEAU SIMON Definable and invariant types in enrichments of NIP theories JSL
SIMON A Note on Regularity lemma for distal structures PAMS
- Rosenthal compacta and NIP formulas FM
- VC-sets and generic compact domination IJM
SIMON Walsberg Tame topology over dp-minimal structures NDJFL
WAGNER Plus ultra JML
- The right angle to look at orthogonal sets JSL

Le but de ce projet est de renforcer les interactions entre la théorie des modèles d'un côté, la théorie de la valuation, la combinatoire et la géométrie de l'autre. La théorie des modèles moderne analyse la catégorie des ensembles définissables dans une structure du premier ordre ou dans une classe de structures. Certaines classes de structures appelées stables possèdent une notion d'indépendance utile pour obtenir des informations algébriques. Les outils théoriques ainsi développés s'appliquent alors à la géométrie algébrique ou arithmétique par le biais de certaines théories de corps avec opérateurs, et ont parfois des résultats spectaculaires comme dans les preuves par Hrushovski des conjectures de Mordell-Lang et de Manin-Mumford.

Les cinq dernières années ont vu trois développements importants qui ont élargi le spectre de la théorie des modèles. Le premier est l'étude de l'indépendance dans les théories dépendantes puis dans les théories NTP2, qui permet de généraliser les techniques de la théorie de la stabilité à un contexte très large englobant tous les exemples déjà connus. Le second est l'analyse détaillée de certaines classes de corps valués munis d'un opérateur et dont la théorie est NTP2 ; elle devrait conduire à des applications géométriques intéressantes et nouvelles. Le troisième est le transfert par Hrushovski d'idées venant de la stabilité à la combinatoire additive, par le biais de l'étude d'une dimension et d'une mesure sur des structures profinies, et aboutissant en une caractérisation par Breuillard, Green et Tao des sous-groupes approximés.

Nous avons divisé notre projet en quatre tâches principales :
1.Théorie des modèles des corps valués et espaces de Berkovich ;
2.Applications à la géométrie algébrique et arithmétique ;
3.Structures pseudofinies, mesures et combinatoire additive ;
4.Méthodes de théorie des modèles et néostabilité (étude de phénomènes stables dans un contexte instable).

Le rôle de la quatrième tâche est de poser les fondations théoriques communes : nous étudierons les théories NTP2, des sous-classes importantes, ainsi que des extensions à la logique infinitaire ou continue. La deuxième tâche est celle qui a été la plus étudiée, mais d'importantes questions restent encore ouvertes, que nous aborderons notamment avec les nouveaux outils théoriques développés pour les théories dépendantes et NTP2. Le but de la première tâche est de développer la théorie des modèles des corps valués avec structure additionnelle, en utilisant une élimination relative des quantificateurs ou bien la logique continue, et de comprendre la relation entre la catégorie des ensembles définissables dans des corps valués algébriquement clos et les espaces de Berkovich. La troisième tâche est la plus novatrice et audacieuse, car l'utilisation de la théorie des modèles en combinatoire additive est très récente. Nous étudierons les structures profinies et leurs mesures et dimensions d'un point de vue néostable, avec pour but des applications asymptotiques en combinatoire additive.

Les quatre taches sont fortement liées : les structures algébriques ont aussi une facette géométrique, et les techniques développées dans le contexte de la quatrième tâche (pure) pourront être utilisées dans les trois autres (appliquées), et les mesures et dimensions sont sous-jacentes aux quatre thèmes. Nous voulons donc combiner les compétences en théorie des modèles pure de Lyon avec celles plus appliquées des logiciens d'Orsay et de Paris, et avec celles des algébristes, géomètres et combinatoriciens qui nous ont rejoint, dans un projet commun qui utilisera les quatre tâches de façon transversale : les exemples concrets permettront de formuler des principes abstraits qui amèneront à de nouveaux résultats théoriques, ceux-ci à leur tour produisant des nouveaux outils qui seront utilisés pour étudier des exemples bien précis, peut-être même dans des domaines d'applications entièrement nouveaux.