Modélisation stochastique en micromécanique non linéaire – MOSAIC

En ce qui concerne les incertitudes de modèle, celles-ci seront introduites au travers de représentations probabilistes non paramétriques construites par l'intermédiaire de la théorie de l'information. Dans le cas des incertitudes associées aux paramètres des modèles, des représentations fonctionnelles (de type chaos polynomial) et algébriques seront proposées. Ces modèles stochastiques seront par la suite identifiés par la résolution de problèmes statistiques inverses formulés sur des problèmes aux limites stochastiques et/ou multi échelle. Ici, l'utilisation de métriques L^2 et de méthodes statistiques sera privilégiée. La construction de générateurs aléatoires pour les champs stochastiques sera ensuite abordée par l'intermédiaire de la construction de familles d'équations différentielles stochastiques d'Itô. Dans le cas de la modélisation des interphases aléatoires, la pertinence de l'ensemble des méthodes et algorithmes proposés sera testé à l'aide de simulations atomistiques.

En ce qui concerne la problématique relative à la construction, la génération et l’identification de modèles pour les interphases/interfaces imparfaites, des progrès théoriques et numériques ont été obtenus. Tout d’abord, les conditions d’homogénéisation de l’interphase stochastique et son assimilation à une interface imparfaite ont été numériquement investiguées. Une procédure d’identification inverse des paramètres élastiques de l’interface équivalente a été proposée dans ce cadre. Par suite, des modèles de champs aléatoires permettant de modéliser les incertitudes de paramètres et de modèles ont été définis avec succès dans et illustrés dans un cadre multi-échelle. Ces nouveaux modèles permettent notamment de spécifier un certain degré d’anisotropie indépendamment du niveau des fluctuations statistiques exhibées, et sont donc particulièrement bien adaptés à la modélisation des interphases aléatoires qui présentent des morphologies locales spécifiques (cet aspect a été validé par les calculs atomistiques). Afin de permettre la calibration de ces modèles probabilistes associés à une description continue, une procédure originale d’identification inverse est en cours d’étude et repose sur l’utilisation de calculs par dynamique moléculaire. Ces développements ont été accompagnés de la construction de nouveaux générateurs aléatoires permettant la simulation de champs aléatoires non Gaussiens à valeurs tensorielles. L’efficacité de cette nouvelle stratégie numérique, basée sur la définition d’un système d’équations différentielles stochastiques d’Itô, ne souffre pas de l’augmentation de la dimension stochastique et a été démontrée en grandes dimensions (stochastique et spatiale).

La perspective principale de ce projet (à finalité principalement méthodologique) concerne l'étude d'approches multi-échelle intégrant les incertitudes de modèles et de données dans un cadre unifié (intégrant des représentations adéquates, des générateurs adaptés et des méthodes d'identification ad-hoc) et pour des microstructures linéaires et non linéaires. En particulier, les résultats obtenus permettront d'améliorer le caractère prédictif des modélisations multi-échelle intégrant des descriptions nanoscopiques, ainsi que celles reposant sur un couplage entre des représentations atomistiques et continues.

Publications:
[A1] J. Guilleminot, C. Soize. Stochastic model and generator for random fields with symmetry properties: Application to the mesoscopic modeling of elastic random media, SIAM Multiscale Modeling & Simulation, 11(3), pp. 840-870, 2013.
[A2] J. Guilleminot, T. T. Le, C. Soize. Stochastic framework for modeling the linear apparent behavior of complex materials: application to random porous materials with interphases, Acta Mechanica Sinica, 29(6), pp. 773-782, 2013.
[A3] J. Guilleminot, C. Soize, Generation of non-gaussian vector-valued random fields for uncertainty quantification, soumis le 10 décembre 2013.

Communications:
[C1] J. Guilleminot, C. Soize. Generation of non-Gaussian tensor-valued random fields using an ISDE-based algorithm, ICOSSAR 2013, New-York, USA, 16-20 juin 2013.
[C2] T. T. Le, J. Guilleminot, C. Soize. Modélisation probabiliste des effets de surface pour des matériaux nano-renforcés, Congrès Français de Mécanique, Bordeaux, France, 26-30 août 2013.
[C3] J. Guilleminot, C. Soize, Adaptive ISDE-based algorithm for the generation of non- Gaussian vector-valued random fields, 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM-XI) coupled with the 5th European Conference on Computational Mechanics (ECCM V), Barcelona, Spain, July 20-25 2014.
[C4] T. T. Le, J. Guilleminot, C. Soize, Stochastic modeling of interphase effects for nano- reinforced heterogeneous materials, 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM-XI) coupled with the 5th European Conference on Computational Mechanics (ECCM V), Barcelona, Spain, July 20-25 2014.

Dans ce projet, nous nous proposons de développer des nouvelles méthodologies (incluant des stratégies d'identification inverse et de validation des modèles), des représentations stochastiques et des méthodes numériques pour la modélisation micromécanique stochastique de microstructures non linéaires et des interfaces imparfaites. Plus précisément, et pour des raisons de faisabilité, la recherche se concentre sur la modélisation de microstructures hyperélastiques ainsi que de matériaux présentant des effets de surface et contenant des hétérogénéités nanoscopiques (tels que les nanorenforts ou des nanopores).
Pour le cas des microstructures non linéaires, le projet vise à développer des modèles probabilistes pertinents pour des quantités d'intérêts aux échelles microscopique et mésoscopique. Cette dernière s'avère tout particulièrement adaptée pour les microstructures aléatoires non linéaires (tels que les tissus vivants) pour lesquelles la séparation des échelles, classiquement supposée en homogénéisation non linéaire, ne peut pas être établie. Des modèles de variables et de champs aléatoires pour les potentiels seront construits à l’aide du principe du maximum d'entropie et propagées par l’intermédiaire de techniques d'homogénéisation stochastique non linéaire ad hoc. Une méthodologie complète pour identifier les représentations proposées sera par ailleurs proposée et validée sur une base de données simulée.
Concernant la modélisation d'interfaces imparfaites, il convient de noter que les effets de surface sont généralement pris en compte par un modèle d'interface (membranaire, par exemple) impliquant plusieurs hypothèses et notamment celles relatives à la description mécanique de la membrane. Ces choix, arbitraires, génèrent assurément des incertitudes de modèles qui peuvent être critiques lorsque propagés aux échelles supérieures et qui peuvent donc pénaliser les capacités prédictives des approches multi-échelles associées. Dans ce projet, nous proposons d'intégrer de telles incertitudes de modèle dans l'analyse multi-échelle en construisant des représentations probabilistes non paramétriques pour les propriétés homogénéisées.
De façon complémentaire, la construction de générateurs aléatoires robustes, capables de simuler des variables aléatoires prenant leurs valeurs dans des sous-espaces définis par des inégalités presque sûres et des champs aléatoires non Gaussiens, apparaît fondamentale. Alors que la génération de ces derniers peut être effectuée à l’aide de développements sur les chaos polynomiaux, il s’avère que la préservation de la dépendance statistique est difficilement obtenue avec les techniques actuellement disponibles. Dans ce projet, nous contribuerons à la construction de nouveaux générateurs aléatoires s'appuyant en particulier sur la définition de familles d'équations différentielles stochastiques d'Itô. De tels générateurs devront dépendre d'un nombre limité de paramètres indépendants de la dimension probabiliste et pour lesquels des études paramétriques permettront de dégager des choix optimaux.
Les modèles et méthodologies proposés constitueront donc une avancée très significative au-delà des résultats récents obtenus dans le cadre de la mécanique déterministe de ces matériaux. Les résultats attendus figurent par ailleurs à la pointe des développements en cours dans les domaines de la quantification des incertitudes et de la science des matériaux. Enfin, il convient de souligner que ces avancées théoriques permettront d’accompagner les nouveaux développements expérimentaux associés aux techniques de mesures et d’analyse de champs tridimensionnels pour les microstructures complexes.