Combinatoire Algébrique, Résurgence, Moules et Applications – CARMA

La Combinatoire Algébrique est traditionnellement connectée à d'autres domaines mathématiques, principalement à la théorie des représentations. Par exemple, la théorie des fonctions symétriques peut décrire les caractères ou les fonctions sphériques de groupes classiques.

Il est apparu récemment que certaines structures algébriques, généralisant les fonctions symétriques de manière naturelle, pouvaient avoir d'importantes applications dans des domaines très différents. Ces structures sont apparues indépendamment sous diverse formes, dans des domaines apparemment éloignés, qui, en dehors de la Combinatoire, comprennent la Topologie Algébrique, la Théorie des Singularités, les Systèmes Dynamiques ou la Théorie Quantique des Champs.

Ces structures, souvent appelées algèbres de Hopf combinatoires, sont des algèbres de Hopf graduées dont les bases sont naturellement étiquetées par des structures combinatoires, et dont les opérations impliquent des algorithmes combinatoires. Par exemple, les bases peuvent être étiquetées par des partitions d'entiers ou d'ensembles, des compositions, des tableaux de Young, diverses sortes d'arbres, des partitions non-croisées, des matrices d'entiers, et ainsi de suite.

Il a été réalisé seulement récemment que des structures similaires étaient impliquées dans de nombreux travaux d'Écalle sur les formes normales de champs de vecteurs ou de difféomorphismes au voisinage de points singuliers. Elles apparaissent dans le calcul moulien, un formalisme puissant pour manipuler des séries formelles non-commutatives, et, de manière plus étonnante, dans le calcul étranger. Ce dernier constitue une partie essentielle de la théorie des fonctions résurgentes. Il conduit à des dérivations d'algèbres de fonctions qui ne sont pas construites à partir d'opérateurs différentiels, mais au moyen de combinaison complexes d'opérateurs de prolongement analytique. Il s'avère que, dans un cas particulier important, l'algèbre de Hopf des opérateurs étrangers est isomorphe à celle des fonctions symétriques non-commutatives. Cette coïncidence a conduit à de surprenants idempotents de Lie de l'algèbre du groupe symétrique, et un point important du projet est de la comprendre.

Plus généralement, notre but est de comprendre les liens entre le calcul moulien et les algèbres de Hopf combinatoires, idéalement, de trouver une théorie plus générale contenant les deux comme cas particuliers. On peut s'attendre à découvrir de nouvelles structures algébriques, faisant intervenir en général une classe d'objets combinatoires, une famille (éventuellement continue) d'algèbres de Hopf basée sur ceux-ci, une opérade, la théorie des représentations d'un groupe ou d'une algèbre, et une classe de problèmes analytiques de resommation ou de renormalisation.