Géométrie et dispersion pour les ondes nonlinéaires – GEODISP
Géométrie et dispersion pour les ondes nonlinéaires
Avoir une meilleure compréhension de phénomènes de propagation d’ondes (linéaires et nonlinéaires) dans des milieux hétérogènes (en particulier, en présence de parois ou d’interfaces)<br /> Etudier la dérivation de modèles dispersifs d’équations d’ondes, et leur (in)stabilité<br /> Pouvoir traiter des écoulements fluides ou des phénomènes d’optique dans des situations physiques réalistes (en lien avec les deux objectifs précédents)
Géométrie et dispersion pour les ondes nonlinéaires
L'un des points centraux du programme est d'approfondir les connaissances actuelles sur les proprie´te´s dispersives des flots associe´s aux e´quations des ondes, de Schro¨dinger ou plus ge´ne´ralement dispersives dans des milieux inhomoge`nes. Les caracte´ristiques du milieu (et du mode`le) sont code´es dans la repre´sentation de l'espace ambiant (me´trique e´ventuellement singulie`re, pre´sence de bord) et l'on souhaite e´tudier les effets line´aires puis nonline´aires, si possible aussi longtemps que la solution existe. Les progre`s immenses re´alise´s ces vingt dernie`res anne´es, d'abord par l'importation massive de techniques en provenance d'analyse harmonique, ensuite par le de´veloppement rapide de techniques nonline´aires inspire´es de me´thodes variationnelles elliptiques font que la plupart des mode`les jouet classiques sont maintenant bien compris, me^me si certaines ge´ome´tries restent a` explorer (varie´te´ compacte a` courbure ne´gative par exemple). La prochaine e´tape apre`s l'e´tude des flots sur des varie´te´s re´gulie`res est donc les proble`mes a` bord, ainsi que les situations pre´sentant des singularite´s ge´ome´triques (coin, are^te, ou simplement pointe conique) ; ces questions sont naturelles en regard des mode`les physiques ou` les contraintes physiques imposent tre`s souvent des conditions au bord (propagation dans un canal, une fibre optique...).
Adapter le corpus des techniques existantes n'est pas suffisant, il est ne´cessaire de de´velopper de nouveaux outils (ou de remettre a` jour des constructions sophistique´es d'analyse microlocale datant des anne´es 70), plus robustes et flexibles que celles directement issues de l'analyse harmonique de l'espace plat.
Nous avons obtenu une description complete de la dispersion pour l''equation des ondes dans un convexe strict
Comprendre la dispersion dans un domaine general
Extrait de la liste de publications :
3. Jean-Claude Saut (avec D. Lannes), Remarks on the full dispersion Kadomtsev- Petviashvli equation, Kinetic and Related Models, American Institute of Mathematical Sciences 6, Number 4 (2013), 989-1009.
4. Jean-Claude Saut (avec F. Linares et D. Pilod), Dispersive perturbations of Burgers and hyperbolic equations I : local theory, SIAM J. Math. Anal. 46 (2) (2014), 1505-1537.
5. Jean-Claude Saut (avec J. L. Bona, G. Ponce et C. Sparber), Dispersive blow-up for nonlinear Schr ¨odinger equations revisited, J. Math. Pures Appl. 102 (4) (2014), 782-811.
8. Evelyne Miot (avec L. Desvillettes et C. Saffirio) Polynomial propagation of moments and global existence for a Vlasov-Poisson system with a point charge, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 32 (2015), no. 2,
373–400.
9. Evelyne Miot (avec C. Lacave et C. Wang), Uniqueness for the 2-D Euler equations on domains with corners, Indiana Univ. Math. J. 63(6) (2014),
1725-1756.
15. Oana Ivanovici, Fabrice Planchon (avec Gilles Lebeau), Dispersion for the wave equation inside strictly convex domains I: the Friedlander model case, Annals of Mathematics, vol.180, issue 1(2014), pages 353-380
16. Oana Ivanovici, Fabrice Planchon (avec Gilles Lebeau), Estimations de Strichartz pour les ondes dans le modèle de Friedlander en dimension 3, Séminaire Laurent Schwartz (XEDP) (2013-2014).
17. Laurent Michel (avec Gilles Lebeau), Spectral analysis of hypoelliptic random walks, Journal de l'Institut Mathématique de Jussieu, 2015, 3, 451-491
19. Laurent Michel, Tunnel effect for semiclassical random walk (avec J.-F. Bony et F. Hérau), Analysis and PDE, 8(2015), 2, 289-332
21. Evelyne Miot, A uniqueness criterion for unbounded solutions to the
Vlasov-Poisson system, accepté pour publication dans Comm. Math. Phys.
22. Luc Molinet et Stéphane Vento, Improvement of the energy method for strongly non resonant dispersive equations and applications, à paraître dans Analysis & PDE
La plupart des équations de type ondes (hyperboliques, Schrödinger, KdV et autres modèles dispersifs nonlinéaires) issues de modèles physiques représentent des phénomènes dans un milieu qui n’est que rarement homogène, et encore moins souvent infini. Ce n’est que récemment que l’influence de la géométrie du milieu a fait son apparition, à travers l’étude en géométrie courbe, éventuellement compacte, peu régulière, des traditionnels modèles « jouet » nonlinéaires. Nous souhaitons développer nos travaux récents dans le contexte des domaines à bord, pour mieux comprendre les problématiques classiques, existence et unicité de solutions, et surtout leur asymptotique (explosion en temps fini, scattering), en lien avec la géométrie du milieu ambiant (type de bord, obstacles multiples, interfaces…). Ces questions ont été extrêmement étudiées dans le cadre de l’équation des ondes linéaire (motivées par le développement des radars/sonars, mais aussi de la tomographie), suscitant d’importants développements d’analyse microlocale. Comprendre comment utiliser au mieux ces techniques, couplées à une analyse fine et adaptée aux questions nonlinéaires des phénomènes de dispersion ou de focalisation, est une étape, parvenir à étendre à des contextes plus réalistes physiquement des outils spécifiquement nonlinéaires mais mis au point dans le cadre rigide des modèles simples est une autre étape, l’une et l’autre nécessitant des développements concertés. De plus, comprendre les propriétés fines des solutions de modèles dispersifs, incluant des modèles réalistes, ne parait plus hors d'atteinte : domaine de validité, conditions aux limites, stabilité et instabilité nonlinéaire, et plus généralement dépassement du problème de Cauchy, en relation avec la dérivation des modèles est au coeur du présent projet.
Coordination du projet
Fabrice PLANCHON (Laboratoire J.A. Dieudonné)
L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.
Partenariat
LJAD Laboratoire J.A. Dieudonné
Laboratoire de mathématiques CNRS et Université Paris-Sud
Aide de l'ANR 98 961 euros
Début et durée du projet scientifique :
novembre 2012
- 48 Mois
