Diffusions relativistes – RelDiff

Les methodes sont celles classiquement utilisees en mathematiques. Voir le document attache RapportANRJuin2012.pdf

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Les diffusions relativistes sont une classe de processus de Markov intrinsequement associes a tout modele relativiste d'espace-temps, generalisant de facon naturelle le mouvement geodesique, et representant le mouvement aleatoire dans l'espace-temps d'un objet ayant une vitesse plus petite que celle de la lumiere (on parle de trajectoires temporelles). Dudley identifia le premier en 1966 l'un de ces processus, dans l'espace-temps de Minkowski, comme l'unique processus de Markov ayant des trajectoires temporelles et dont la loi a des proprietes d'invariance naturelles. On doit a Franchi et Le Jan (2007) une generalisations du processus de Dudley, definies sur toute variete lorentzienne, et a valeurs dans le fibre unite de cette variabe. A l'encontre de ce qui se passe dans l'espace-temps de Minkowski, un espace-temps courbe admet toute une famille de diffusions, intrinsequement definies, et donnant lieu a des trajectoires temporelles aleatoires dans l'espace-temps.

Les proprietes de ces processus dans des modeles d'espace-temps physiquement interessants demeurent en grande partie mysterieuses. Cependant, leur nature intrinseque signifie que chacunes de leurs proprietes seront caracteristiques de l'espace-temps. La tache de comprendre ces diffusions relativistes presente un nouveau challenge pour le calcul stochastique et offre la possibilite de soulever de nouvelles questions et d'introduire de nouvelles techniques dans l'etude des varietes lorentziennes. A la suite du travail seminal de Debbasch et ses co-auteurs la communaute de physique manifeste un interet croissant pour comprendre le role de ces mouvements browniens relativistes. Le lien etroit qu'entretiennent ces diffusions avec l'equation de Boltzmann relativiste en font un outil modele pour explorer les phenomenes d'irreversibilite lies a la mecanique statistique et la theorie cinetique relativistes.

L'etude des diffusions relativistes etant un sujet nouveau, seul un petit nombre de travaux mathematiques ont ete mene. Les travaux que j'ai effectue dessinent a ce jour quelques une des directions de recherche que j'aimerais explorer : il y a des liens potentiels avec des questions mathematiques d'interet en physique theorique, en particulier concernant des objets comme les trous noirs, les singularites de l'espace-temps, et les bords conformes.

Situee ainsi a l'intersection de differents champs de recherche, tant mathematique que physique, l'etude de ces processus s'avere donc potentiellement riche de consequences. Le but de ce projet de recherche est de developper l'etude et le champ d'application de ces processus, en explorant les liens etroits qu'entretiennent les proprietes probabilistes globales de ces processus et la geometrie de l'espace-temps.