Estimation et manipulation à l'échelle Quantique – EMAQS

La manipulation de l'évolution des atomes et molécules à l'échelle quantique a été un objectif dès les débuts de la technologie laser. Néanmoins la conception d'impulsions laser basée sur la seule intuition n'a pas permis d'aboutir avant que les chercheurs n'aient compris que ce problème doit être reformulé dans le cadre de la théorie du contrôle; ceci a grandement contribué à l'obtention des premiers résultats expérimentaux positifs.

D'autres applications ont suivi: la génération de lasers de très haute fréquence par la technique des Génération d'Harmoniques Hautes, des applications de Résonance Magnétique Nucléaire en médecine, la conception de portes logiques pour les futurs ordinateurs quantiques... La manipulation de la dynamique quantique est maintenant une technologie émergente qui nécessite un apport de chercheurs d'horizons divers.

Dans la formulation mathématique, la dynamique est régie par l'équation de Schrödinger qui fait intervenir l'Hamiltonien du système; dans un formalisme plus général, tenant compte de la décohérence et de l'irréversibilité, l'état est décrit par un opérateur matrice-densité et évolue selon l'équation de Lindblad-Kossakowski.

Concernant la manipulation de l'évolution quantique par un champ externe, une première question cruciale est si celle-ci est tout simplement possible, c'est-à-dire si tout état souhaité peut être atteint avec un champ bien choisi; en des termes techniques nous sommes en train de nous demander si le système est `contrôlable'. Il est possible d'affiner cette question selon que la contrôlabilité est recherchée exactement, approximativement, en temps fini ou asymptotiquement, en boucle fermée ou ouverte... L'étude du contrôle d'équations modélisant des systèmes quantiques est un des buts de ce projet.

La simple conclusion qu'un contrôle existe ne donne pas d'indications sur comment le trouver en pratique. Donc nous devons formuler des algorithmes numériques convergeant vers le contrôle et compatibles avec les contraintes expérimentales. En conséquence un deuxième but du projet est de trouver de tels algorithmes dans des situations importantes pour la pratique. Pour être efficaces, ces algorithmes doivent aussi tenir compte des incertitudes, des erreurs et les traiter.

Finalement, un problème d'estimation (`problème inverse') peut être formulé: supposons qu'on ne connaît pas l'Hamiltonien mais qu'on peut mesurer, pour plusieurs champs laser, certaines quantités agrégées (dépendantes de la fonction d'onde) sur le système; quelles informations peut-on récupérer sur l'Hamiltonien, à partir de ces mesures et quelles sont les méthodes les plus efficaces pour les obtenir?

Il est bien connu que ces 3 axes thématiques (contrôle en boucle ouverte, stabilisation feedback, et estimation) sont étroitement liés. Ceci souligne la cohérence de notre projet de recherche.

Une forte spécificité du projet est la collaboration avec des physiciens et chimistes. Cette interaction a pour but de nous fournir des problèmes mathématiques nouveaux directement liés aux applications. De plus, les avancées théoriques et numériques obtenues pourraient être testées expérimentalement puisque les membres du projet ont accès à deux installations expérimentales, une au Laboratoire Kastler-Brossel (ENS Ulm, un des seniors du groupe étant membre du partenaire ARMINES-CAS) et une autre à Princeton University (le groupe du Prof. H. Rabitz a des collaborations de longue date avec l'équipe du CEREMADE).

Enfin, notre équipe possède des compétences complémentaires pour mener à bien ce projet: analyse classique et numérique des équations aux dérivées partielles, théorie des systèmes, physique quantique. Notre objectif est de réaliser la synthèse de ces compétences.