Systèmes stochastiques en mathématiques et physique mathématique – STOSYMAP

L'objectif de ce projet est d'unir les efforts de trois équipes françaises travaillant sur les aspects mathématiques de la turbulence dans divers milieux physiques. Il existe très peu de résultats mathématiques liés à la turbulence et la compréhension analytique reste limitée. Des avancées dans ces directions demandent d'obtenir de nouveaux résultats en EDP hamiltoniennes, théorie des probabilités, EDP stochastiques, une compréhension qualitative profonde au niveau physique et probablement un éclairage provenant de simulations numériques. Au cours de ces dernières années, les membres de ce projet ont obtenus indépendamment des résultats mathématiques originaux et complémentaires liés à la turbulence. L'effort conjoint porté par ce projet devrait permettre des progrès décisifs dans ce domaine important.

Pour les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles (3D) (la cadre standard pour la turbulence), nous considérerons des problèmes mathématiques liés aux solutions et à leurs caractéristiques statistiques. Nous étudierons aussi des modèles physiques turbulents plus simple, avec forçage stochastique : les équations de Navier–Stokes 2D (turbulence 2D, pertinente pour ses analogies avec des modèles de météorologie), l'équation de Schrödinger non linéaire (turbulence optique), l'équation de Gross–Pitaevskii (condensation de Bose–Einstein), l'équation de Burgers (modèle jouet pour la turbulence classique), l'équation de Korteweg–de Vries avec une faible dissipation (un autre modèle physique de la turbulence dans divers milieux). 

Le projet se compose de recherches analytiques des propriétés qualitatives des solutions. Elles seront soutenues par des études numériques. Plus précisément, nous prévoyons d'examiner les problèmes suivants: 
1. Ergodicité des équations de Navier–Stokes 2D dans un domaine borné avec des perturbations stochastiques localisées dans l'espace physique ou de Fourier. 
2. La limite non visqueuse des mesures stationnaires dans des cas particuliers, tels que des équations linéaires ou complètement intégrables bruitées/amorties. 
3. Étude qualitative d'équations dispersives avec divers types d'interventions stochastiques, telles que la dispersion aléatoire ou l'amplitude aléatoire d'un potentiel. 
4. Comportement ergodique du flot des systèmes d'Euler et de Navier–Stokes et description des structures à grande échelle.
5. Cascades d'énergie pour Navier–Stokes 2D en géométrie hyperbolique.

En parallèle, nous étudierons un problème plus difficile (et imprévisible) concernant le comportement qualitatif des solutions pour le système de Navier–Stokes 3D dans des domaines bornés et non bornés. Il y a peu de résultats mathématiques liés à la turbulence, dans ce contexte, et la compréhension physique du problème demeure insuffisante. Notre programme comprend l'étude des problèmes suivants pour le système Navier–Stokes 3D et d'autres équations liées :
1. Bornes uniformes pour l'énergie locale pour des classes particulières de solutions.
2. Résultats rigoureux sur l'approximation des flots physiques pertinents par des modèles, avec une bonne compréhension du comportement des solutions.
3. Analyse des solutions stationnaires en espace-temps pour le système de Navier–Stokes avec friction d'Ekman et pour d'autres EDP similaires.
4. Propriétés ergodiques des modèles stochastiques du transport turbulent de particules inertielles.

Ce projet de quatre ans a pour but principal de développer l'effort existant dans le domaine de l'analyse mathématique de la turbulence, en recrutant des post-docs pour travailler avec les chercheurs impliqués. Un autre objectif essentiel est de développer des relations sur le long terme entre les différents groupes, chacun d'entre eux bénéficiant d'une reconnaissance internationale, mais ayant des approches très différentes et complémentaires. Le projet prévoit aussi l'organisation de rencontres et conférences pour favoriser le développement de collaborations et de discussions internationales.