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Théorie de Hodge p-adique et développements – ThéHopaD

Résumé de soumission

Ce projet se situe au carrefour de l'arithmétique et de la géométrie algébrique. Il vise à faire avancer de pair les aspects arithmétiques et géométriques de la théorie de Hodge $p$-adique en se concentrant sur deux grandes questions, parmi les plus ouvertes et les plus profondes, le programme de Langlands $p$-adique pour le côté arithmétique et la correspondance de Simpson $p$-adique pour le côté géométrique.

Le programme de Langlands $p$-adique a vu le jour au tournant des années 2000 avec pour objectif de comprendre comment la théorie de Hodge $p$-adique côté représentations de Galois pouvait s'incarner côté représentations de $GL_n$ (elle est en effet essentiellement absente du programme de Langlands classique). Plus précisément, il s'agit de comprendre les représentations de $GL_n$ d'une extension finie de $Q_p$ portées par la cohomologie étale $p$-adique complétée d'une tour de variétés de Shimura. Ces représentations devraient au moins ``contenir'' la théorie de Fontaine des représentations galoisiennes $p$-adiques locales associées aux formes automorphes algébriques liées aux variétés de Shimura considérées (mais aussi à des formes automorphes $p$-adiques). Ce programme $p$-adique n'en est qu'à ses débuts (il est bien compris seulement pour $GL_2(Q_p)$) mais a déjà eu des applications profondes à des théorèmes de modularité. Notre objectif est de le développer et de le généraliser, en particulier de dégager des énoncés (éventuellement conjecturaux) qui vont largement au delà des résultats actuels.

La correspondance de Simpson $p$-adique, initiée récemment par Faltings, vise à décrire toutes les représentations $p$-adiques du groupe fondamental d'une variété (propre et) lisse sur un corps $p$-adique en terme d'algèbre linéaire (modules de Higgs). La théorie en est encore à ses premières phases de développement, mais elle apparaît déjà comme une avancée théorique importante, ayant de nombreuses applications potentielles profondes aussi bien arithmétiques que géométriques (représentations galoisiennes $p$-adiques, cohomologie des variétés de Shimura, uniformisation $p$-adique,...). Notre projet vise à développer la correspondance $p$-adique sur le modèle de la théorie de Simpson complexe dont elle est inspirée. Nous nous proposons, en particulier, d'étendre son champ d'applications et de décrire le plus explicitement possible son image (ce qui correspond à la partie difficile des résultats de Simpson dans le cas complexe).

Coordinateur du projet

Monsieur Ahmed ABBES (Institut des Hautes Etudes Scientifiques de Bures - IHES) – abbes@ihes.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IHES Institut des Hautes Etudes Scientifiques de Bures - IHES
LMV UNIVERSITE DE VERSAILLES - SAINT-QUENTIN - EN - YVELINES

Aide de l'ANR 220 000 euros
Début et durée du projet scientifique : juillet 2011 - 48 Mois

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