Relativité Générale Mathématique. Analyse et géométrie des espaces-temps peu réguliers – GR-Analysis-Geometry

Ce projet de recherche est consacré à plusieurs aspects mathématiques de la relativité générale. En s'appuyant sur une collaboration étroite entre analystes et géomètres, nous nous proposons d'étudier certaines propriétés analytiques et géométriques des espace-temps d'Einstein, en particulier lorsque les métriques lorentziennes associées sont peu régulières. Les équations d'Einstein exprimées dans une jauge bien choisie forment un système d'équations d'ondes nonlinéaires, et il est naturel de rechercher des solutions peu régulières dans la résolution du problème de Cauchy. Du point de vue physique aussi, les espaces-temps singuliers jouent un rôle important en relativité générale, et permettent d'inclure les ondes gravitationnelles (impulsives) et les singularités de courbure. Par suite, la relativité générale étant une théorie de nature géométrique, il est nécessaire de généraliser certains objets géométriques classiques, et notamment de chercher à définir et manipuler des métriques dégénérées et des variétés de courbure singulière. Nous nous appuyons ici sur des interactions scientifiques entre analystes (experts sur les équations d'Einstein) et géomètres (experts sur la géométrie lorentzienne globale). Les problèmes abordés sont directement motivés par des questions posées par la physique sous-jacente et, au-delà des thèmes particuliers étudiés dans ce projet, les travaux proposés permettront d'avancer, d'une part, les techniques d'analyse des solutions peu régulières pour les équations aux dérivées partielles nonlinéaires de type hyperbolique/elliptique et, d'autre part, les techniques de géométrie semi-riemannienne globales et les structures métriques singulières (métriques dégénérées, surfaces polyédrales, modèle géométrique de collision de particules). Bien que d'importantes avancées aient été réalisées ces dernières années, de nombreux problèmes restent cependant ouverts en relativité générale mathématique, et de nombreuses passerelles restent encore à construire, ce qui est l'un des objectifs principaux de ce Projet. Ces dernières années, de nombreuses conférences ont été organisées sur la relativité générale, par des analystes et par des géomètres, et l'étude proposée s'insérera naturellement dans cet effort de recherche mondial. Les équations d'Einstein posent aux mathématiciens certains des défis techniques les plus difficiles. Tous les membres de ce Projets ont l'expertise nécessaire leur permettant de contribuer de manière très significative à ce Projet. Nous nous intéresserons particulièrement à la stabilité des solutions peu régulières des équations d'Einstein; à la géométrie globale et aux propriétés de causalité des espaces-temps peu réguliers (incomplétude, explosion de la courbure); au problème initial caractéristique pour les équations d'Einstein (régularité près des cônes de lumière). Plus particulièrement, nous concentrerons nos efforts sur les cinq thèmes principaux suivants: (1) Conjecture de courbure de Klainerman. (2) Propagation et interactions des ondes gravitationnelles. (3) Feuilletages globaux et comportement asymptotique en temps pour les espaces-temps peu réguliers. (4) Espaces-temps cosmologiques et leur singularité initiale. (5) Géométrie des espaces-temps de courbure singulière. Pour avancer ces problèmes, il est essentiel de combiner des techniques d'analyse et de géométrie, et l'ensemble de cette collaboration contribuera au développement de liens forts entre les analystes et les géomètres non seulement en France mais aussi à un niveau international.