MOdélisation mathématique et simulations NUMériques pour la dégradation biologique des MONUMENTs et pour la prolifération des ALGues. – MONUMENTALG

Ce projet propose de traiter deux sujets d’actualité, la dégradation biologique des monuments et la prolifération d’algues toxiques en Mer Méditerranée via la modélisation et l’analyse mathématiques.

La conservation du patrimoine culturel est un des problèmes fondamentaux de ces dernières années. En effet, la dégradation des monuments a dramatiquement augmenté à cause de la pollution atmosphérique et des changements climatiques et environnementaux. Alors que la science de la conservation des oeuvres d'art fait appel à différents domaines pour faire face à ce problème, les mathématiques ne sont présentes que depuis peu et seulement pour étudier la dégradation chimique. Or, selon les experts, la dégradation biologique est toute aussi importante que la dégradation chimique. Nous étudierons en particulier, l’organisation à la surface des monuments de certains microorganismes (comme les cyanobactéries) en biofilms qui croissent et causent de nombreux dégâts. Ces bactéries communiquent entre elles en utilisant un système interne de signalisation.

Or cette structure de biofilms se retrouve dans un autre domaine : depuis dix ans, l’algue Ostreopsis, d’origine tropicale, se développe et croît sous forme de biofilms dans les fonds marins avant de se détacher et de se répandre dans l’eau et dans l’air. Sa dispersion est à l’origine de graves problèmes environnementaux et de santé publique qui obligent les autorités à fermer certaines plages l’été. La première partie de son développement est donc très semblable à celui des bactéries au fond des fontaines et le même modèle pourrait être utilisé.

Un des buts de ce projet est donc de proposer des modèles mathématiques, une analyse et des simulations numériques pour le dépôt de biofilms à la surface des monuments. Les ingénieurs utilisent des modèles d'automates cellulaires, qui amènent à traiter de gros systèmes d'équations différentielles ordinaires, très sensibles aux données initiales. Au lieu d'utiliser cette méthode, nous allons développer une approche basée sur les équations aux dérivées partielles. Elle nous permettra d'avoir une vision macroscopique des phénomènes et de faire des simulations sur une échelle d'espace plus grande. Afin d'établir des modèles adéquats à la formation et la croissance des biofilms, nous partirons de modèles hydrodynamiques de la théorie des mélanges.

Puis, pour faire l'analyse mathématique du modèle ainsi obtenu et trouver des schémas numériques adaptés aux équations, nous étudierons en premier lieu un modèle hyperbolique multi-dimensionnel du chimiotactisme, le modèle de Cattaneo. Ce modèle nous semble plus adapté que le modèle habituel parabolique de Keller-Segel, dont la diffusion amène à des comportements explosifs. Bien que de nombreuses propriétés des solutions du modèle de Keller-Segel soient connues, très peu de résultats existent pour le modèle de Cattaneo. D'abord, nous chercherons à obtenir une preuve de la fiabilité du modèle de Cattaneo à capturer des phénomènes d’agrégation. Nous généraliserons ensuite une étude récente du cas monodimensionnel qui prouve l'existence globale et développe un schéma approprié, conservant exactement certaines propriétés du modèle et plus précis que les schémas habituels.

Cette étude préliminaire devrait nous permettre d'étudier analytiquement et numériquement le modèle de biofilms, dont le linéarisé est justement le modèle de Cattaneo précédemment cité. Ce modèle comporte cependant quelques difficultés inhérentes, comme une structure à mi chemin entre équations compressibles et équations incompressibles.

Plusieurs extensions du modèle de croissance de biofilm sont envisagées. Il s’agit non seulement d’un modèle complet pour la prolifération d'algues citée ci-dessus , mais aussi d’un couplage avec un modèle de dégradation chimique et d’une étude d’une possible biorestauration. Des simulations en géométrie réaliste et une comparaison avec des données expérimentales sont prévues.