Modèles aléatoires critiques bi-dimensionnels – MAC2

La compréhension mathématique des modèles bidimensionnels de la
mécanique statistique a connu un profond renouvellement ces dernières
années à la suite de l'introduction des processus SLE par Oded Schramm
en 1999. Dans un certain nombre de cas (comme la marche aléatoire à
boucles effacées, l'arbre couvrant uniforme ou le champ libre gaussien),
une image complète du comportement de ces systèmes à leur point critique
est à présent bien comprise ; en revanche, pour d'autres modèles (comme
la percolation ou le modèle d'Ising ferromagnétique) le lien exact entre
le système discret et sa limite d'échelle continue est plus évasif, et
seulement connu (grâce aux travaux de Stanislav Smirnov et al.) dans un
nombre limité de cas.

Une activité de recherche intense est en cours pour tenter de comprendre
la convergence vers cette limite d'échelle dans le cas général et la
notion dite d'universalité (qui désigne le fait que la limite en
question ne dépend pas des détails microscopiques spécifiques du modèle
mais seulement de ses propriétés générales - par exemple, la percolation
sur n'importe quel réseau bidimensionnel devrait avoir les mêmes
exposants critiques, même si la valeur du paramètre critique dépend bien
sûr du réseau particulier).

Dans l'autre direction, utiliser des propriétés du processus SLE pour en
déduire des propriétés pour les modèles discrets correspondants a été
fait dans quelques cas (par exemple, la détermination des exposants
d'intersection pour la marche aléatoire simple par Lawler, Schramm et
Werner), mais jusqu'à présent cet aspect est largement moins avancé.

Un autre domaine d'activité actuelle concerne l'étude de systèmes
discrets grands mais finis, proches de leur point critique (ce qu'on
désigne par le terme "off-critique") de telle sorte que leur
comportement est à la frontière entre le modèle critique et l'existence
d'une longueur de corrélation finie. Cette étude remonte (en ce qui
concerne la communauté mathématique) aux travaux de Kesten sur les
relations dites de scaling, qui relient l'approche du point critique aux
propriétés spatiales du modèle critique lui-même.

Le but de ce projet est d'approfondir l'étude des interactions entre
les mondes discret et continu, dans autant de cas que possible.