Géométrie et représentations des algèbres de Cherednik, et catégories O – GERCHER

Des progrès considérables ont été faits récemment en théorie des représentations. Le but de ce projet est d'étudier les applications de nouveaux outils à des sujets classiques dans ce domaine : la catégorie O des algèbres de Lie semi-simples complexes (et leur version affine) et les représentations des algèbres de Hecke (affines).

Tout d'abord nous nous intéresserons aux algèbres de Hecke doublement affines (DAHA) et leur dégenerations rationnelles (appelées algèbres de Cherednik). Les DAHA sont supposées jouer un rôle similaire, dans une catégorie de représentations "supérieure" à définir, aux algèbres de Hecke affines pour les groupes p-adiques. Les représentations des DAHA sont très mal connues. Les modules simples peuvent être décrits via la K-théorie équivariante de la "variété de Steinberg affine". Il serait important de comprendre mieux les fibres de Springer affines et les représentations des DAHA dans leur espaces de cohomologie. Les algèbres de Cherednik ont une jolie catégorie de représentations, appelée encore la catégorie O. Elle est équipée d'un foncteur remarquable pointant sur la catégorie des représentations d'une algèbre de Hecke. De ce point de vue les algèbres de Cherednik sont des outils importants
pour étudier les algèbres de Hecke. Notre but est de comprendre cette catégorie O. Nous nous concentrerons en particulier sur les sujets suivants.
Comprendre les représentations de dimension finie et leur relation avec la partie radial des opérateurs différentiels invariants. Comprendre la catégorie O des algèbres de Cherednik rationelles et leur relation avec les représentations d'algèbres de Lie affines et d'algèbres de q-Schur cyclotomiques.

Ensuite, nous nous intéresserons aux algèbres W. Les algèbres W affines sont en fait des algèbres vertex qui ont été introduites il y a quelques années en physique mathématique. Les algèbres W finies on été introduites récemment par Premet pour étudier les représentations modulaires des algèbres de Lie.
Elles permettent aussi de comprendre les idéaux primitifs de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie semi-simple. Enfin elles donnent une nouvelle
façon de comprendre les blocs singulier des catégories O paraboliques. Nous voudrions comprendre mieux les représentations des algèbres W. Nous nous concentrerons en particulier sur les relations entre les algèbres W affines et les blocs de la catégorie O parabolique des algèbres de Lie affines. Une telle construction serait utile afin de démontrer une équivalence de catégories entre algèbres de Lie affines et algèbres de q-Schur cyclotomique. Nous nous intéresserons aussi à la géométrie sous-jacente aux algèbres W affines. Par exemple, quelle relation peut-il y avoir entre algèbres W affines et les fibres de Springer affines ?

Le troisième thème de recherche est celui des algèbres KLR. Elles ont été introduites il y a un an pour catégorifier des objet classiques en théorie des représentations (modules intégrables d'algèbres de Kac-Moody, bases canoniques, algèbres enveloppantes quantiques modifiées). Il s'agit en fait d'objets fondamentaux qui peuvent servir à comprendre les représentations des algèbres de Hecke affines de type classique. Un but de ce projet est d'étudier les représentations des algèbres KLR afin d'obtenir de nouveaux résulteats profonds sur les algèbres de Hecke affines et les bases canoniques.