Dynamique et EDP – DynPDE

Le cadre général dans lequel s'inscrit ce projet de recherche est l'étude des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Nous nous intéresserons plus particulièrement à celles qui apparaissent soit comme systèmes dynamiques de dimension infinie, soit celles liées à certaines structures géométriques. Notre but est l'étude de l'existence de solutions remarquables, de variétés invariantes et de la dynamique au voisinage de celles-ci; leur persistance lorsque l'on perturbe les systèmes dynamiques. Un des moyens que nous proposons d'utiliser est celui des formes normales. Ceux-ci sont des représentants ''simples" de l'orbite de l'action d'un sous-groupe de difféomorphismes de l'espace de phase sur l'objet à étudier. Elles sont des outils classiques et puissants dans l'étude des systèmes dynamiques (qui ne sont pas trop dégénérés) de dimension finie et ont récemment été utilisées dans l'étude des équations aux dérivées partielles et (dans une certaine mesure) des structures géométriques (comme les structures de Poisson singulières, les structures de Cauchy-Riemann présentant des singularités ou non). L'utilisation de ces outils rencontre des difficultés liées d'une part, au problème des petits diviseurs et d'autre part aux résonances qui ne sont autres que les obstructions à la linéarisation des problèmes. L'objectif du projet est de développer ces techniques et de les appliquer à des problèmes de géométrie, d'équations aux dérivées partielles et de dynamique. Bien que ces problèmes soient de natures diverses, ils sont conceptuellement très liés et leurs solutions bénéficieront grandement de la collaboration de mathématiciens ayant des domaines de compétences complémentaires.