Substitutions et pavages – SubTile

Le coeur de ce projet est l'étude des pavages non périodiques, en particulier ceux engendrés par des règles locales ou de substitutions. La découverte du premier exemple de pavage non périodique du plan date des années 60. Par la suite les connaissances sur le sujet ont énormément progressé. Signalons le pavage de Penrose et la découverte des quasi-cristaux. Depuis une vingtaine d'années, ces objets suscitent un intérêt croissant faisant interagir de nombreuses approches : combinatoire, cohomologique, ergodique, topologique, algébrique, géométrie non-commutative, physique, informatique. Ce projet rassemble des spécialistes reconnus d'un ou plusieurs de ces domaines ayant des contributions notables et remarquées en matière de pavages. Les objectifs sont multiples, complémentaires et fortement connectés. Ils concernent : l'établissement de nouveaux résultats ; la création d'un logiciel de construction, de manipulation des pavages, de calcul d'invariants, de complexité, d'entropie ; la diffusion des deux premiers aspects, notamment en direction des écoles, collèges, lycées, étudiants, musée, sites web. Ce dernier point s'appuiera fortement sur l'outil informatique créé. Plusieurs directions de recherche contribueront à faire avancer ce projet. ? Problème de Goodman-Strauss. En dimension 1, les familles des sous-shifts substitutifs et celle des sous-shifts de type fini sont disjointes. En dimension supérieure, la première est incluse dans la seconde. Néanmoins les liens entre la substitution et les règles locales ne sont pas encore bien compris et encore moins explicites. La partie logiciel du projet sera d'une grande aide sur ce sujet. ? Spectre discret des substitutions de Pisot : Une étude spectrale des systèmes de pavages sera menée. Beaucoup de travaux existent en dimension 1, mais la conjecture sur le spectre discret des substitutions de Pisot reste sans solution pour des alphabets d'au moins 3 lettres. Il a toutefois été établi plusieurs versions équivalentes de cette conjecture (dont une version combinatoire en termes de « coïncidences »). Certains travaux ont été généralisés aux pavages substitutifs par Solomyak. Dans le cas Pisot à plusieurs dimensions il serait intéressant de savoir si la notion de « coïncidence » a un équivalent et si elle permet d'obtenir une version combinatoire de la conjecture. L'un des intérêts est de pouvoir intégrer au logiciel un calcul menant à l'existence ou non du spectre discret. ? Existence et stabilité des quasi-cristaux. Un modèle de la structure atomique des quasi-cristaux est donnée par les pavages substitutifs. Les propriétés combinatoires, ergodique, spectrale, etc ... de ces pavages permettent de déduire des propriétés physiques des quasi-cristaux. Par exemple, le spectre du système dynamique engendré par le pavage donne des informations sur le spectre de diffraction du quasi-cristal. L'existence de cette correspondance n'est pas encore comprise : Pourquoi le refroidissement très rapide de certains alliages fige-t-il la structure atomique de façon quasi-cristalline? ? Calcul explicite d'invariant de cohomologie. On connait des algoritmes pour calculer les invariants des pavages de substitution en petite dimension (au plus 2) ou des pavages de coupe et projection canoniques en petite codimension (au plus 3). Mais les pavages qui nous intéressent ont une zone d'acceptance fractale ce qui neccessite des nouvelles idées. ? Construction des triples spectrales. Dans un travail recent Bellissard et Peason ont proposés un triple spectrale pour les ensembles de Cantor munies d'une ultra métrique. Ceci s'applique au transveral d'un pavage et on aimerait le généraliser au l'algèbre du pavage. L'intérêt d'un logiciel de calcul sur les pavages a été plusieurs fois décrit précédemment. Afin de pouvoir communiquer nos résultats, la production d'images est très importante, notamment lorsqu'il s'agira de d'intéresser des élèves ou des étudiants à cet aspect des mathématiques. De fortes compétences en matière de vulgarisation des connaissances sont présentes dans ce projet. Nous voulons les développer davantage, les structurer et les partager avec les populations apprenantes. Cela se réalisera au travers d'interventions, de conférences, d'ateliers, de visites qui seront faites dans les établissements partenaires de ce projet ou dans les établissements demandeurs de ce type de manifestations.