Zone d'oscillations rapides et singularités dans des systèmes dispersives, integrabilité et approches numériques – HOSDINA

Le but  de ce projet est la combinaison des méthodes analytiques et numériques les plus avancées dans l'étude des équations aux dérivées partielles nonlinéaires dispersives avec des oscillations rapides dans plusieurs domaines de mathématiques et de physique. L'approche analytique appliquera des techniques de Riemann-Hilbert avec la méthodes de la décroissance dominante (steepest descent) pour des équations intégrables ou presque intégrables. Ceci permettra la construction des solutions asymptotiques sous forme des transcendants de Painlevé et des fonctions thêta en plusieurs dimensions sur l'espace modulaire des surfaces de Riemann. Les équations de Painlevé et les fonctions modulaires seront analysées dans ce projet. L'approche numérique utilisera de préférence des méthodes spectrales efficaces pour les coordonnées spatiales et des différences finies d'ordre élevé avec des intégrants exponentiels pour l'intégration dans le temps.Les outils numériques nécessaires seront développés dans ce projet et seront distribués librement sous forme d'une bibliothèque de codes. Ceci sera complémenté par un traitement numérique efficace des espaces modulaires associés à des surfaces de Riemann compactes. Ce code permettra l'étude des fonctions modulaires sur l'espace modulaires des surfaces de Riemann associés comme des déterminants de Laplaciens. Avec ces méthodes numériques efficaces et précises, une comparaison quantitative des oscillations rapides avec la solution asymptotique dans la zone oscillatoire sera possible. Les résultats numériques seront utilisées pour obtenir des conjectures à démontrer pendant ce projet. Les modèles des matrices aléatoires avec une matrice avec des phénomènes oscillatoires pour large N (dimension de la matrice) seront étudiés avec un approche similaire.