– GCM

Certains problèmes fondamentaux posés par la robotique, l'étude de la vision humaine ou la physique quantique peuvent être étudiés dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. L'étude et l'analyse de ces problèmes peuvent alors donner lieu à des questions de recherche en géométrie sous-riemannienne. Le but de ce projet est de rassembler des mathématiciens français travaillant sur ces questions et de créer un réseau de recherche en géométrie sous-riemannienne. En effet, alors que la communauté française dans ce domaine est l'une des toutes premières au niveau mondial, elle est relativement dispersée. Un tel projet conforterait la prééminence française dans un domaine de recherche en plein développement. Grâce à la proposition de deux années post-doctorales et à la participation à des conférences, nous espérons aussi disséminer les connaissances obtenues et encourager de jeunes mathématiciens à travailler sur ces sujets interdisciplinaires. Nous voulons traiter des problèmes impliquant des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles. Plus précisément, nous projetons d'étudier: -) des problèmes de contrôle quantique, tels que la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger, la planification de trajectoires sur les groupes de Lie, le transfert optimal d'un niveau d'énergie à un autre... Ces problèmes ont des applications en résonance magnétique nucléaire (particulièrement en médecine) et dans les sciences de l'information quantique (par exemple, pour la réalisation de portes quantiques pour les ordinateurs quantiques). -) des processus de diffusions non isotropes, modélisés par une équation de la chaleur dont l'opérateur d'évolution est un Laplacien sous-elliptique. Ce très vieux problème a récemment connu un regain d'intérêt après la publications des travaux de Petitot et Citti-Sarti qui ont reconnu des phénomènes de diffusion non isotropes dans le fonctionnement du cortex visuel humain V1. Ce problème mêle des questions très intéressantes de théorie de la mesure géométrique et des techniques sophistiquées d'analyse harmonique non-commutatives. -) des problèmes de planification de trajectoires. Les systèmes non holonomes retiennent l'attention de la communauté scientifique en raison des questions théoriques que soulève l'étude de tels systèmes et de l'importance des applications, dans des domaines comme la robotique ou le contrôle quantique. En particulier, le problème consistant à construire une trajectoire admissible reliant deux configurations d'un système (problème dit de planification de trajectoires non holonome) a été résolu pour certaines classes de systèmes sans dérive. On dispose dans ce cas de techniques efficaces. Par contre, à l'heure actuelle, on ne dispose toujours pas de solutions effectives aux problèmes de planification de trajectoires valables dans le cas général. -) des problèmes de transfert de masse en géométrie sous-riemannienne et plus généralement en théorie géométrique du contrôle. Ces problèmes ont des applications dans tous les problèmes d'optimisation de transport, avec contraintes holonomes ou non-holonomes. De plus, en adoptant une approche inspirée de Sturm, Lott et Villani, l'étude des problèmes de transport optimal sur les variétés sous-riemanniennes peut conduire à une meilleure compréhension des espaces de Carnot-Carathéodory en termes de courbure. L'approche que nous proposons pour traiter ces questions difficiles et importantes est basée sur des techniques développées dans le cadre de la géométrie sous-riemannienne et de la théorie géométrique du contrôle, techniques dues pour partie aux membres de notre équipe. Cette approche a déjà prouvé son efficacité. Elle a permis de résoudre des problèmes ouverts, et a fourni par exemple : la preuve que, pour des structures sous-riemanniennes génériques de rang plus grand que deux, il n'y a pas de courbes minimisantes singulières non triviales; la construction explicite du noyau de la chaleur hypoelliptique pour les principaux groupes de Lie de dimension trois; la preuve de la contrôlabilité approchée de l'équation de Schrödinger à spectre discret sous des conditions « génériques ». Les membres du projet sont des experts reconnus au niveau international en géométrie sous-riemannienne, et plus généralement en théorie géométrique du contrôle et contrôle optimal, ainsi que dans leurs applications, aussi bien sur le plan théorique que numérique. Ils collaborent depuis de nombreuses années et ont co-signé de nombreuses publications. Ils ont également développé un réseau de collaborations internationales de haut niveau.