Variétés holomorphiquement symplectiques, leurs espaces de modules et formes automorphes – VHSMOD-2009

Théorie des variétés symplectiques irréductibles (VSI) a deux aspects. L'aspect géométrique inclut la description des VSI obtenues par des constructions spécifiques. Du point de vue de la théorie de modules, les propriétés géométriques de VSI se caractérisent par des différents types de polarisation. Leur domaine de périodes est le quotient d'un domaine symétrique de Siegel par un groupe arithmétique associé à un réseau indéfini, d'où l'aspect arithmétique du problème. Les espaces de modules de VSI sont décrites en termes de formes automorphes associées à ces réseaux. Les formes automorphes avec une asymptotique prescrite s'interprètent comme des formes pluricanoniques sur les espaces de modules. On s'attend que les espaces de modules des VSI sont de type général pour degré de polarisation assez grand. Des résultats partiels ont été obtenus par Kondo, Gritsenko, Hulek, Sankaran pour les modules de surfaces K3 ou surfaces abéliennes. Le but est de les étendre aux modules des VSI et à d'autres quotients arithmétiques, qui sont des espaces de modules d'autres type de variétés kählériennes ou de théories conformes des champs. Les formes automoprhes qui apparaissent dans ce travail méritent une de l'intérêt eux mêmes et ont d'autres applications dans la théorie des nombres (formules exactes pour des produits infinis), dans la théorie des algèbres de Kac-Moody, algèbres de vertex et dans la physique théorique. On étudiera de telles formes qui sont obtenues comme produits automorphes à la Borcherds ou leurs tirés en arrière, thêta-blocks et thêta-quarks. Les questions qui relient les deux aspects sont : traduire les propriétés géométriques des VSI en des propriétés numériques de leurs réseaux de Picard (réseaux de polarisation); étudier les orbites de l'action de monodromie et du groupe orthogonal sur les réseaux de polarisation pertinents; représenter chaque orbite par une construction géométrique. Un des objectifs du projet est la recherche de nouvelles constructions et généralisations, dont les VSI singulières, fibrations lagrangiennes compactifiées, le lieux fixes d'automorphismes symplectiques d'une variété holomorphiquement symplectique, des espaces de modules de faisceaux sur lesquels la structure symplectique est donnée par la classe d'Atiyah. Certains espaces de modules plus généraux seront traités par les mêmes techniques, par exemple, modèles non-commutatifs de variétés de Calabi-Yau.