– MicroWave

Le but du projet ANR Blanc « Microwave » est de construire et implémenter de nouvelles méthodes de simulation en utilisant l?analyse microlocale liée aux opérateurs pseudo- et para-différentiels. Jusqu?à présent, l?analyse microlocale a permis d?obtenir de nombreux résultats fins pour l?étude mathématique des Equations aux Dérivées Partielles. Néanmoins, son application dans le domaine du calcul numérique est très peu explorée. Pour cette raison, nous proposons de développer cette démarche originale et prometteuse en choisissant comme cadre d?applications des problèmes liés aux phénomènes ondulatoires. Nos développements suivent dans un premier temps deux directions. La première consiste à améliorer des méthodes numériques destinées à résoudre les problèmes de diffraction d?ondes acoustiques ou électromagnétiques à haute fréquence, phénomènes régit par les équations de Helmholtz et de Maxwell. Nous proposons d?améliorer les méthodes basées sur une approche par formulation variationnelle en volume et celles de type formulations intégrales. Notamment, nous considérons le problème de l?amélioration de la précision du calcul de la solution (pollution numérique par exemple) et celui de l?accélération et de la convergence de la solution numérique par une méthode itérative (construction d?un préconditionneur). Ces deux problèmes difficiles sont connus pour être des limitations importantes dans les codes de résolution existants actuellement, notamment dans le cadre industriel. Les membres de l?ANR MicroWave ont une excellente connaissance du domaine et de nombreuses contributions qui lui confèrent une solide base pour s?attaquer à ce type de problèmes. La seconde direction concerne la construction d?approximations de l?opérateur Dirichlet-to-Neumann pour des équations de Schrödinger linéaires ou non linéaires, en temps ou stationnaires, déterministes ou stochastiques, systèmes couplés? Ces approximations, basées sur des approches microlocales pseudo- et para-différentielles, seront ensuite utilisées dans les techniques de conditions aux limites artificielles et méthodes de décomposition de domaines. En particulier, nous analyserons la construction de schémas de discrétisation stables pour les problèmes associés en domaines bornés. Les membres de l?ANR MicroWave ont déjà plusieurs contributions importantes dans le domaine, ce qui lui donne une forte assise pour obtenir de nouveaux résultats sur des cas plus complexes que nous proposons d?investiguer. À partir de la troisième année, une troisième direction importante sera explorée : les méthodes développées pour les équations de Helmholtz/Maxwell seront adaptées pour des situations liées aux équations de Schrödinger, et réciproquement. Toutes ces nouvelles méthodes seront implémentées dans le code de calcul d?éléments finis GetDP, développé par Christophe GEUZAINE et collaborateur extérieur associé à l?ANR MicroWave. Nous considérerons notamment des exemples réalistes issus de la physique pour valider nos développements.