– MANDy

Nous souhaitons développer une approche mathématiquement rigoureuse des Neurosciences à la fois pour un neurone et pour des populations de neurones. Nous conduirons l?analyse mathématique des modèles existants pour lesquels il reste beaucoup à faire, et nous souhaitons enrichir la modélisation en proposant de nouveaux modèles. La présence de neuroscientifiques dans notre projet facilitera leur validation. Les membres de notre projet offrent une garantie de compétence internationalement reconnue en Mathématiques aussi bien qu?en Neurosciences. Les simulations dans ce sujet sont nombreuses. Cette approche est frustueuse et doit être poursuivie mais nous pensons qu?elle est limitée et que de nouveaux résultats provenant d?une analyse mathématique profonde sont nécessaires. Notre projet est centré sur les équations aux dérivées partielles (edp) et les probabilités. Les modèles classiques soulèvent des questions mathématiques à la frontière des connaissances actuelles que nous envisageons d? aborder à la fois sous l?angle théorique et numérique. Une des originalités de notre projet est d? intégrer les différents niveaux dynamiques du système nerveux. Pour un seul neurone, il faut décrire les excursions de son potentiel de membrane loin de sa valeur de repos (dues à différentes réactions chimiques). Deux biologistes Hodgkin et Huxley ont proposé un modèle constitué d? un système d?edp nonlinéaires type réaction-diffusion couplées mettant en jeu plusieurs échelles de temps. L? étude d?ondes progressives, de possibles régimes oscillants et du comportement asymptotique de ces systèmes reste un problème ouvert, à la fois théoriquement et numériquement, que nous etudierons. Il est maintenant clair que les modèles stochastiques sont nécessaires pour décrire certaines observations expérimentales: mécanisme des canaux ioniques, invariance de l? efficacité synaptique, phénomènes de synchronisation et de résonance observables uniquement en présence d?aléa. Nous considérons des modèles stochastiques multidimensionnels obtenus par perturbation aléatoire d? un modèle de type Hodgkin-Huxley sans composante spatiale (ou une version simplifiéee de dimension 2). Nous nous intéressons à la loi du temps de sortie d?un domaine, aux régimes oscillants et à la résonance induits par le bruit et au comportement asymptotique. Nous aurons à faire face à des systèmes non gradients fortement dégénérés à coefficients non globalement Lipschitziens auxquels les résultats existants ne s?appliquent pas. Nous considèrerons également le modèle unidimensionnel Leaky Integrate and Fire (LIF). Des schémas numériques d?approximation de leur premier temps de passage au-dessus d?un seuil sont nécessaires: aucun schéma suffisamment rapide avec étude théorique d?erreurs n?est disponible actuellement. Nous traiterons cette question puis passerons au cas multidimensionnel. Nous envisageons également de développer l?étude de modèles incluant la composante spatiale (propagation du potentiel le long de l?axone). Cela revient à introduire des équations aux dérivées partielles stochastiques dans les modèles et débouche sur de nombreuses questions ouvertes. En ce qui concerne les populations de neurones, il n?existe pas de modèles de référence. Nous nous intéresserons à la synchronisation, l?activité spontanée, la prise de décision, la perception, l?échange et le traitement de l? information au sein d?une population. Nous étudierons la synchronisation à travers le modèle de Kuramoto d? après les résultats récents sur les systèmes hors équilibre et les milieox désordonnés. Nous développerons également l?étude mathématique de modèles expérimentaux originaux issus des travaux de neuroscientifiques de notre groupe ainsi que nos collaborateurs étrangers décrivant l?apparition d?activité spontanée et la prise de décision. Nous aurons à traiter des edp où apparaissent des difficultés inhabituelles: nonlinéarités spécifiques, impossibilité d?appliquer les méthodes existantes, edp de Fokker-Planck non gradient. Nous développerons également des modèles d?interactions de micro-colonnes corticales basés sur des opérateurs intégraux de Fourier nonlineaires. Des études récentes menées par l?un des neuroscientifiques de notre groupe ont montré que des modèles probabilistes d?inférence dynamique peuvent rendre compte efficacement de différents aspects de la perception. L?une des difficultés théoriques étant le grand nombre de ressources mémoires nécessaires, nous nous attacherons à développer des solutions pour simplifier l?aspect combinatoire associé. La perception et la prise de décision résultent de l?échange d?informations entre groupes de neurones. Il n?y a aucun formalisme mathématique de cet échange et nous aimerions montrer que des activités du cerveau telles que perception, mémoire, action, décision et adaptation peuvent s?interpréter à l?aide des principes de la thermodynamique hors-équilibre.