Marches aléatoires, systèmes dynamiques et mécanique statistique mathématique – RANDYMECA

Les problèmes que nous nous proposons d'étudier comme point de départ de ce projet RANDYMECA se situe au coeur de la théorie des probabilités et concernent principalement des modèles de marches aléatoires sur des réseaux aléatoirement orientés, avec une attention particulière portée sur des orientations dont l'aléa est généré par des systèmes dynamiques. Bienque notre but principal soit d'établir des théorèmes limites pour de telles marches aléatoires, nous comptons également s'inspirer de ces résultats pour traiter des problèmes similaires en mécanique statistique, parfois reliée à notre contexte par le biais d'une réécriture d'hamiltoniens en termes de trajectoires de marches aléatoires. Nous comptons également étudier des modèles de percolation sur de tels réseaux orientés. Ces marches aléatoires sur réseaux orientés constituent un type particulier de marches aléatoires en environement aléatoire qui n'a pas été autant étudié par le passé que des marches plus générales, mais cependant trois participants à ce projet ont considéré le cas de réséaux carrés verticalement orientés lorsque ces orientations sont aléatoires et pas nécessairement indépendantes ou identiquement distribuées. Dans ce contexte, une perte de récurrence a été prouvée pour des orientations engendrées par des systèmes dynamiques, de même qu'un théorème limite fonctionnel non-standard pour certains d'entre eux. Le cas particulier d'orientations liées aux rotations sur le tore qui sont susceptible de décrire la transition de récurrence à transience pourra alors être plus profondement étudié, tout comme d'autre théorèmes limites (TLL, PGD, LIL,etc.) en connexion avec des marches aléatoires en environnements aléatoires, un cas particuliers de marches aléatoires en environnement aléatoires. Tout au long de ces investigations, nous comptons favoriser toute connection avec les domaines proches que sont les marches aléatoires renforcées, les réseaux d'applications couplées ou toute autre question spécifique liée aux marches aléatoires en environnement saléatoires et non-aléatoires.