Applications des courbes holomorphes en géométrie symplectique et de contact – Floer Power

Les géométries symplectique et de contact trouvent leur origine en physique : elles constituent le cadre naturel pour une formulation sans coordonnées de la mécanique hamiltonienne et de l'optique géométrique. Dans les années 80, Gromov puis Floer ont montré que les courbes holomorphes étaient un outil puissant pour étudier les variétés symplectiques et les dynamiques hamiltoniennes. Un peu plus tard Hofer découvrit que la dynamique des champs de Reeb sur une variété de contact pouvait être abordée à l'aide de courbes holomorphes «épointées» tracées dans la symplectisation. Les phénomènes de rigidité symplectique/contact découlent d'une rigidité holomorphe. La géométrie des espaces de modules de courbes est encodée dans des structures algébriques semblables en bien des points à celles de la topologie algébrique. Le but de notre projet est de rassembler nos compétences pour appliquer ces techniques aux questions fondamentales suivantes : - Conjecture de Weinstein en dimension supérieure à 3 - Conjecture d'Arnold sur les intersections lagrangiennes - Isotopie des sous-variétés lagrangiennes exactes dans un espace cotangent - Structure de la catégorie de Fukaya d'une variété de Calabi-Yau, et la conjecture de Kontsevich sur la symétrie miroir - Topologie des «parties réelles» de variétés symplectiques - Caractérisation topologique des variétés de dimension impaire admettant une structure de contact Un axe central de notre programme consistera à développer de nouveaux outils de calcul pour des invariants issus des courbes holomorphes, tels que : suites exactes, suites spectrales, versions équivariantes de l'homologie de Floer, formules récursives pour des invariants énumératifs. Nous voulons aussi étudier deux situations dans lesquelles l'homologie de Floer peut être «complexifiée», donnant lieu à de nouveaux invariants suivant les idées de Donaldson et Thomas, à savoir les G2-variétés et les variétés complexes symplectiques. Une réponse complète aux problèmes énoncés plus haut est peut-être hors de portée. Cependant les méthodes mises en jeu devraient avoir des retombées bien au-delà des problèmes initiaux. En voici des exemples. Nous allons aborder la conjecture de Weinstein en grande dimension en étudiant des livres ouverts adaptés; ceux-ci sont un outil de première importance pour la géométrie de contact en dimension 3. Il réduit la question à l'étude d'une dynamique 2-dimensionnelle, la monodromie des pages. En grande dimension, il serait important de savoir s'il existe un analogue de la propriété pseudo-Anosov. Une seconde approche pour la conjecture de Weinstein s'appuierait sur l'homologie symplectique et les suites exactes d'attachement d'anses. Cela conduirait à un outil de calcul pour l'homologie symplectique des variétés de Stein, avec application ultérieure à l'étude symplectique des singularités. La conjecture de la symétrie miroir est un des problèmes moteurs du moment en géométrie symplectique. Notre approche pour les sphères lagrangiennes conduit à l'étude de certains groupes d'homologie de Floer pour des k-uplets de lagrangiennes, qui pourraient être des candidats pour l'homologie de Floer de certaines lagrangiennes singulières. Passer de la topologie symplectique lisse à des celle d'espaces singuliers est un défi majeur, hors de portée pour l'heure. L'existence de structures de contact est un problème fondamental, à l'instar de ce qu'il est pour les structures symplectiques. Cependant, Eliashberg ayant donné une caractérisation topologique des variétés de Stein, il semble plus abordable que son pendant symplectique. Pour atteindre notre but, nous devrons avoir une compréhension profonde des problèmes d'isotopie dans les variétés de Stein, en particulier de l'action en homologie symplectique des difféomorphismes symplectiques. Les sous-variétés lagrangiennes sont l'objet d'étude de première importance en géométrie symplectique. Le problème d'isotopie, posé par Arnold, des variétés lagrangiennes exactes dans un es