Étude mathématique du transport électronique en milieu désordonné – EMTMD

L'étude des milieux désordonnés est une thématique qui s'inscrit dans la physique du solide. L'un des problèmes principaux est celui de la description du transport des électrons dans ces milieux. Les ordres de grandeur en présence font que les phénomènes de transports dans les milieux désordonnés sont quantiques par nature. Ainsi l'équation de Schrödinger est le modèle mathématique naturel pour le décrire. Du point de vue mathématique, ceci place notre projet au confluent de l'étude des équations aux dérivées partielles, de la théorie des opérateurs, de l'analyse fonctionnelle. D'autre part, la spécificité des milieux désordonnés est que leur description ne peut être que statistique. Ils sont donc modélisés mathématiquement par des familles d'opérateurs décrites par des propriétés statistiques. Ainsi la théorie des probabilités est un autre champ des mathématique qui a naturellement toute sa place dans l'étude mathématique du transport électronique dans un milieu désordonné. Un exemplaire macroscopique de solide désordonné, tel un alliage ou un semi-conducteur, contient un très grand nombre de particules. L'étude mathématique du modèle quantique complet est irréalisable. Néanmoins dans de nombreux cas, des approximations justifiées du point de vue de la physique permettent des simplifications notables. L'un des modèles obtenus ainsi, sans doute le plus simple, est l'équation de Schrödinger avec un potentiel aléatoire. Dans ce cas, on s'intéresse au transport d'un unique électron au sein d'un milieu modélisé par un potentiel aléatoire. Cette question est très largement étudiée mathématiquement depuis les trente dernières années. Le régime le mieux compris jusqu'à maintenant est celui de la localisation des électrons sous l'effet du potentiel aléatoire. De nombreuses questions fondamentales restent encore ouvertes sur cette question. Le défi majeur dans ce domaine de recherche n'en demeure pas moins celui de la compréhension des phénomènes de transport, que cela soit en dimension 2 pour des opérateurs magnétiques (en lien avec l'effet Hall quantique) ou dimension supérieure sans champ magnétique (états étendus et transition métal-isolant pour le modèle d'Anderson). La première partie de ce projet se consacre largement à ces questions de localisation et délocalisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoire ou pour des modèles décrits en termes de matrices bandes aléatoires (Cf. B2-PARTIE 1 du projet). Parallèlement, nous comptons étudier le cas du modèle avec plusieurs, voire un grand nombre de particules quantiques dans un milieu aléatoire. Cette direction de recherche est encore totalement inexplorée. Nous essayerons de comprendre ce qui subsiste du comportement connu pour une unique particule suivant différents paramètres comme la densité de particules, la force des interactions inter-particulaires, etc (Cf. B2-PARTIE 2). Nous estimons réunir dans ce projet une équipe particulièrement bien armée pour produire les premier résultats significatifs sur ce sujet important. Les recherches décrites ci-dessus sont déjà partiellement en cours et, pour la plupart des participants et collaborateurs, dans le prolongement naturel de leur recherches antérieures. Le soutien financier de l'ANR permettra d'augmenter le potentiel de recherche de l'équipe de plusieurs façons. Nous nous assurerons de la venue de compétences nouvelles d'une part en recrutant des post-doctorants et d'autre part en faisant venir des experts dans différentes thématiques du projet ou connexes à celles du projet. Le séminaire de physique mathématique qui se tient à l'IHP, sera une tribune naturelle pour ces invités, tout comme les séminaires organisés par les membres de Paris 13 et de Cergy-Pontoise. De plus, les partenaires et collaborateurs étant géographiquement dispersés, le soutien de l'ANR permettra le travail en commun des membres de l'équipe en assurant financièrement l'organisation de rencontres sous diverses formes (missions de recherche, mini-colloques