Points entiers et points rationnels – PEPR

De tout temps on s'est intéressé à décider si une équation polynomiale à coefficients entiers a des solutions en nombres entiers ou rationnels et, quand c'est le cas, à essayer de décrire l'ensemble des solutions. En termes géométriques, on veut savoir si une variété algébrique définie sur le corps des rationnels (et plus généralement sur un corps de nombres) a un point rationnel. On peut s'intéresser à des variétés algébriques particulières: quadriques, hypersurfaces cubiques, espaces homogènes. On essaie alors d'établir des critères d'existence de points au moyen de méthodes cohomologiques, premier volet du projet. Une autre façon d'aborder les points entiers ou rationnels est d'essayer de mesurer le nombre de solutions d'un système d'équations polynomiales: c'est le comptage de points. De façon plus précise, il s'agit de déterminer des équivalents asymptotiques pour le nombre de solutions de taille au plus N. Ceci est l'objet d'un second thème, très lié à la théorie analytique des nombres. Les groupes algébriques linéaires apparaissent naturellement dans l'étude des points rationnels des variétés algébriques : pour eux-mêmes (ce sont des variétés algébriques !), comme groupes d'automorphismes, enfin comme fibres géométriques d'espaces homogènes et torseurs. Les généralisations sur les entiers demandent plus de géométrie algébrique, c'est-à-dire la théorie des schémas en groupes, dernier volet du projet. Ce projet regroupe trois partenaires (Ecole normale supérieure, Université Paris-Sud, Université Grenoble 1 Joseph Fourier) et compte quatorze membres fondateurs dont deux doctorants auxquels il convient d'ajouter les deux post-doctorants à financer par l'ANR. Plus précisément, l'un de ces recrutements concerne la première thématique (obstruction de Brauer-Manin, 2009) et l'autre porte sur la deuxième (comptage de points sur les variétés, 2011). Deux écoles d'été sont prévues pour développer cette thématique: la première à Grenoble en juin 2010 sur les deux premiers thèmes et la seconde à Luminy en septembre 2011 sur le troisième thème.