Nouveaux liens entre la théorie de l'homotopie et la théorie des groupes et des représentations – HGRT

La nature même du théorème de Lannes sur la cohomologie singulière mod p de l'espace des applications de l'espace classifiant BV vers un espace X raisonnable (où V est un espace vectoriel sur le corps à p éléments, i.e. un p-groupe abélien élémentaire) comme un foncteur de la cohomologie singulière modulo p de X montre le lien établi entre théorie de l'homotopie et théorie des groupes. En effet ce théorème décrit explicitement cette cohomologie comme une représentation du groupe linéaire GL(V). Appliqué au cas où X est le classifiant d'un groupe G ce théorème peut être précisé en faisant apparaître les centralisateurs des représentations de V dans G, il est très lié aux théorèmes classiques de Quillen sur la cohomologie modulo p des groupes finis (et compacts). Les applications de ce théorème ont été multiples et ont mené dans diverses directions HGT homotopical group theory : ou sont données des extensions des notions de groupe de Lie et de groupes finis basées sur les propriétés topologiques des classifiants. Théorie des modules instables et des catégories de foncteurs, intimement liées aux questions de représentations modulaires. Dans ces domaines les techniques de modules instables développées dans le cadre de la démonstration du théorème de Lannes ont joué un rôle très important. En retour les techniques de catégories de foncteurs ont abouti à des résultats homotopiques novateurs. Cohomologie des groupes arithmétiques et profinis: exemples et contreexemples a une version instable de la conjecture de Lichtenbaum-Quillen (a la Dwyer-Friedlander). Lien avec la théorie d'homotopie stable par la cohomologie profini de groupes de Morava. Ces champs sont en évolution très rapide, de nouvelles questions surgissent et d'anciennes questions, sur lesquelles les progrès ont été lents, semblent maintenant plus à portée.