– OTARIE

Le transport optimal est un thème mathématique au carrefour de l'optimisation, des équations aux dérivées partielles et des systèmes dynamiques en - dimension à la fois finie et infinie. Le problème de base du transport optimal est de trouver une stratégie de transport reliant deux distributions de masses données et minimisant un certain coût de transport; de tels stratégies sont en fait engendrées par les solutions d'EDP convenables, notamment les équations de Monge-Ampère et de Hamilton-Jacobi. - - Les vigoureux développements théoriques dans le domaine, particulièrement en France, ont fait prendre conscience que bien des problèmes important fondamentaux et appliqués, peuvent être formulés en terme de transport optimal dans des espaces convenables. Ces formulations conduisent à de nouvelles approches compétitives et parfois permettent d'innover totalement. Toutefois, dans la pratique, les stratégies de transport optimal présentent de sérieux défis d'analyse numérique, étant donné la grande taille des problèmes typiques. - - Le but premier de ce projet est de développer une boîte à outils de méthodes numériques efficaces et de codes pour des problèmes de transport optimal. Les équipes participantes comprennent des mathématiciens aussi bien que des spécialistes de cosmologie, d'imagerie et d'hydrodynamique. Les motivations viennent d'applications réelles à ces thématiques, déjà explorées par les participants dans des études pilotes, mais les outils développés dans le projet visent à une applicabilité plus large pour des problèmes numériques d'optimisation du transport. - - La reconstruction des vitesses particulières des galaxies à partir des catalogues de redshifts à grande échelle est une application exemplaire du transport optimal. Dans ce cas, l'approximation cosmologique de Zeldovich conduit soit à une équation de Monge-Ampère soit à celle de Hamilton-Jacobi (Bernouilli), résolues par transport optimal avec des données peuvant comporter jusqu'au million d'objets; les vitesses particulières ainsi obtenues sont à leur tour utlisées pour contraindre diverses quantités d'intérêt cosmologique. Les équipes Poncelet, IAP et Doeblin contribueront au moins en partie à développer et à perfectionner le transport optimal pour la reconstruction cosmologique. Avec ces outils nous attendons une amélioration significative des vitesses particulières et de la reconstruction à petite échelle. - - En analyse d'images, le morphing et l'ajustement des couleurs peuvent être traités comme des interpolations (transports) de McCann dans l'espace - physique ou celui des couleurs. Pour l'enregistrement des images et la reconnaissance des formes il est utile de connaître la distance (de transport) de Monge-Kantorovich. Au Cérémade on développera de nouveaux algorithmes numériques parallélisables de transport permettant de s'attaquer a des résolutions d'images et des taille de collections de plus en plus élevées. - - Sur le plan numérique et algorithmique nous nous impliquerons à la fois dans des approches combinatoires (appariement Euclidien efficace en dimensions basses, programmation semi-définie) et des approches par champs continus (méthode de Benamou-Brenier-Uzawa, contrôle bilinéaire optimal, méthodes multi-échelle pour les équations de Monge-Ampere et Hamilton-Jacobi). Ici nous comptons améliorer les performances et atteindre des problèmes de bien plus grande taille que ceux traités dans les études pilotes précédemment développées par les participants. - - Ce travail sera complété par des études théoriques de plusieurs aspects du transport optimal (régularité des solutions, espaces de mesure avec des distances engendrées par des systèmes dynamiques lagrangiens) qui sont d'importance pratique pour l'optimisation numérique du transport. Nous explorerons aussi de façon théorique les modèles pertinents d'hydrodynamique (dynamique des gaz à pression nulle, formation de caustiques en écoulement multi-courant) liés au transport optimal