Nouvelles interactions des codes correcte d'erre – XCODES

1-contexte scientifique et objectifs du projet La théorie des codes correcteurs d'erreurs fait partie de la théorie de l'information introduite par Shannon en 1948. Les applications de cette théorie se retrouvent dans beaucoup d'applications de la vie de tous les jours, citons en particulier: les communications satellites, la cryptographie (cartes à puces, cartes de téléphone, commerce sécurisé), la protection des contenus numériques (CD, DVD), les modems, etc.. Les mathématiques peuvent être utilisés dans ce contexte pour améliorer des techniques existantes. L'objectif de ce projet est de développer les interactions entre les mathématiques, les codes correcteurs d'erreurs et certaines de leurs applications industrielles récentes. Ce projet réunit des personnes ayant à la fois une expertise plutôt théorique ou plus proche des applications, mais dont la volonté est de développer des outils et objets mathématiques pouvant être utilisés dans une perspective industrielle. On s'intéressera à trois aspects à la pointe de la recherche actuelle, comme le prouve les nombreux prix internationaux reçus par ces thématiques: les codes sur les variétés Grassmaniennes complexes et leurs application au canal MIMO (Multi-Input Multi-Output) non cohérent, le décodage en liste des codes de Reed-Solomon et l'interpolation polynomiale multivariée et enfin l'utilisation de la théorie des groupes pour diminuer la taille des matrices génératrices utilisées en cryptographie. Les deux points forts du projet sont: l'excellence des domaines de recherche abordés en accord avec l'expertose des membres du projet, l'interaction théorie/application qui repose sur des membres du projet avec une complémentarité de domaines de connaissances. 2-description du projet, méthodologie - Les codes sur les variétés Grassmaniennes complexes et leur application au canal MIMO (Multi-Input Multi-Output) non cohérent: Il s'agit de développer l'étude des codes pour le canal MIMO (Multi-Input Multi-Output) non cohérent, avec pour but d'atteindre la capacité de ce canal. Les codes de la variété Grassmannienne complexe apparaissent naturellement dans la résolution de ce problème. - Le décodage en liste des codes de Reed-Solomon et l'interpolation polynomiale multivariée: Ce type de décodage tout d'abord décrit à la fin des années 50 n'a vraiment trouvé de réelles applications qu'avec les travaux de M. Sudan en 1996 pour lesquels il a reçu le prix Nevanlinna et pour lesquels il ramène le problème du décodage en liste à la complexité d'une interpolation polynomiale bivariée. Nous nous proposons d'utiliser des techniques algorithmique de calcul formel pour améliorer la complexité de cet algorithme. Ces premiers résultats font l'objet d'un contrat avec le CNES. - Utilisation de la théorie des groupes pour diminuer la taille des matrices génératrices utilisées en cryptographie : La théorie des codes possèdent bien des avantages, notamment sa facilité d'utilisation, mais dans certains cas leur utilisation nécessite de manipuler des grosses matrices qui rendent leur utilisation impossible dans des systèmes très contraints comme la carte à puces ou les étiquettes radio-fréquences RFID. Pour pallier cet inconvénient nous proposons de considérer l'action de groupes pour essayer de diminuer la taille des objets à manipuler. Ces idées s'adaptent particulièrement bien au cas des systèmes cryptographiques basés sur les codes. La méthodologie utilisée sera l'organisation de séminaires réguliers, l'invitation de chercheurs exterieurs ou la participation à des congrés ainsi que l'organisation d'une conf érence sur ces thématiques. 3-résultats attendus Les résultats attendus sont à la fois des avancées scientifiques concrètes mais aussi, sur le fond, le développement dans la durée d'une culture d'interaction entre des points de vue théoriques et plus appliqués pour la théorie des codes correcteurs en France.