Autour de la conjecture de Cannon – Cannon

La conjecture de Cannon est une des questions centrales entre la théorie géométrique des groupes et la topologie des variétés de dimension 3. L'un des objectifs majeurs étant l'application à la conjecture d'hyperbolisation due à Thurston. La conjecture de Cannon affirme que si le bord d'un groupe hyperbolique au sens de Gromov est homéomorphe à une sphère de dimension 2, alors c'est le groupe fondamental d'une variété hyperbolique de dimension 3 (à indice fini près). La structure géométrique d'un groupe hyperbolique ne fournit que des invariants de nature topologique, ce qui manque c'est une géométrie naturelle associée au groupe. Actuellement cette conjecture est hors de portée et seuls des résultats partiels sont connus en ajoutant des hypothèfses techniques fortes. Il existe plusieurs catégories d'hypothèses additionnelles dans la littérature récente : Des hypothèses de nature géométrie bornée combinatoire (Cannon et Swenson) et des hypothèses de nature géométrie analytique (Bonk et Kleiner). Notre projet consiste à réunir de façon régulière les quelques spécialistes français travaillant sur le sujet et de faire le point avec nos collègues étrangers, essentiellement européens et américains, qui sont impliqués sur ces thèmes. L'originalité de notre projet est de regrouper des analystes, topologues, géomètres, et dynamiciens. Chacun amène un point de vue différent et complémentaire des autres. Notre but est d'initier une dynamique sur ces thématiques importantes au niveau français et international. Nous avons déja commencé à nous réunir pour faire le point des différentes approches en organisant en Février 2006 un atelier de travail à Marseille. Nous sommes également partie prenante dans un projet de grande conférence en Février 2007 sur de nombreux aspects de la théorie géométrique des groupes qui sera organisée au CIRM. Nous envisageons aussi des rencontres, probablement au CIRM, des membres du projet avec une quinzaine de collègues étrangers pour faire le point, au moins une fois par an. Notre première réunion nous a permis de faire ressortir plusieurs directions de recherche qui nous semblent prometteuses, en particulier : - Les propriétés homologiques (Dualité de Poincaré), - Les propriétés des jauges conformes, - Les propriétés d'autosimilarité liées aux structures automatiques, - Les propriétés combinatoires et une dynamique symbolique du type IFS. Les différentes approches à la conjecture de Cannon utilisent de nombreux domaines des mathématiques, à titre d'exemple nous pouvons citer : Géométrie des groupes, Topologie des variétés de dimension 3, géométrie quasi-conforme, théorie de la dimension, dynamique sur les espaces métriques, autosimilarité, théorie ergodique. Notre projet consiste prioritairement à faire en sorte que des chercheurs de ces différents domaines puissent interagir sur un thème porteur et aux conséquences importantes.