Explosion, interaction et dispersion pour les équations d'ondes non linéaires – ONDE NON LIN

Le projet a pour coordinateur Frank Merle, 43 ans, Professeur a l'Universite de Cergy-Pontoise (unique partenaire de ce projet). Les autres membres de l'equipe sont: Raphael Cote, 25 ans, Agrege preparateur a l'ENS, Thomas Duyckaerts, 27 ans, Maitre de Conferences a l'Universite de Cergy-Pontoise, Yvan Martel, 36 ans, Professeur a l'Universite de Versailles-St-Quentin-en-Y., Fabrice Planchon, 35 ans, Professeur a l'Universite Paris 13, Pierre Raphael, 30 ans, CR 2 CNRS a l'Universite de Paris 11, et Hatem Zaag, 35 ans, CR 1 CNRS a l'ENS. Ce projet concerne le comportement qualitatif des solutions d'equations dispersives nonlineaires, notamment le comportement asymptotique en temps grand ou a l'explosion quand la solution s'ecrit comme la perturbation d'une onde solitaire aux invariances de l'equation pres. Rappelons le contexte scientifique: Dans les annees 60-70, la theorie de l'integrabilite permet de decrire tres precisement la dynamique et les interactions des ondes solitaires. Cette theorie est cependant limitee a quelques equations exceptionnelles. Dans les annees 80, les ondes nonlineaires stationnaires sont mieux comprises de facon completement generale par la theorie elliptique. Finalement, dans les annees 90, des methodes d'analyse harmonique permettent d'etablir des resultats concernant le probleme de Cauchy (local et global) pour ces equations, par des techniques de type fourier. Ces methodes donnent peu de resultats sur le comportement qualitatif en temps grand des solutions generales ou lorsqu'un sin gularite se forme. Pour ces questions, le premier angle d'attaque est l'etude du voisinage des solutions ondes solitaires via une theorie perturbative. Dans ce cadre, Martel-Merle et Merle-Raphael ont resolu recemment deux questions classiques concernant le phenomene d'explosion pour les equations de gKdV et de Schrodinger critique, en se basant sur des principes de localisation dans l'espace de propri etes energetiques (voir aussi les travaux dans le cadre diffusif de Merle-Zaag). Le projet scientifique comprend 4 parties qui sont abordes simultanement: A) Comportement qualitatif des solutions des equations de gKdV et de Schrodinger nonlineaires (Cote-Martel-Merle) : construction de solutions particulieres - interaction de solitons B) Description de la formation de singularites pour les equations de Schrodinger nonlineaires (Merle-Planchon-Raphael): cas L2 critique et sur-critique. Wave maps et Yang-Mills critique (Cote-Raphael-Rodnianski) C) Comportement a l'explosion pour les ondes semilineaires (Merle-Zaag) D) Sur le caractere globalement bien pose dans l'espace critique (Kenig-Merle-Duyckaerts). Les objectifs du projet sont de trois ordres. Le premier objectif est d'etendre ce type de techniques a d'autres modeles (par exemple l'equation des ondes semilineaire). Un second objectif est de pousser l'analyse deja etablie par les auteurs du projet a des questions plus delicates : par exemple, pour Schrodinger dans le cas sur-critique, et pour gKdV aborder le probleme de l'interaction de solitons. Le dernier objectif est de rapprocher ces methodes de celles de l'analyse harmonique. Ceci permettra d'abord d'accelerer la diffusion de nos resultats et techniques. D'autre part, une interaction avec l'analyse harmonique permettra un elargissement du domaine, conduisant a la resolution de problemes consideres inaccessibles pour l'instant. Pour realiser ces objectifs, nous voulons renforcer les contacts avec C. Kenig (Univ. Chicago) et I. Rodnianski (Univ. Princeton), et nous comptons sur le succes du semestre thematique a l'IHP en 2009 (portant sur les themes du present projet) organise par F. Merle et F. Planchon. Les trois annees de financement demandees se decomposent en deux parties distinctes temporellement. Les deux premieres annees, une partie du financement servira a faire venir les deux collaborateurs principaux, Carlos Kenig et Igor Rodnianski, ainsi que d'autres visiteurs relies a la themati...