Espaces L_p non-commutatifs, Probabilités quantiques, Espaces d'opérate et Applications – NCLp

Bien qu'ancienne la théorie des espaces Lp non-commutatifs connaît ces derniers temps un regain d'intérêt considérable pour les chercheurs en analyse fonctionnelle. Les développements spectaculaires en algèbre d'opérateurs des années 70 ont permis de dégager une définition très claire et générale de ces espaces. Jusqu'à présent, ils servent souvent d'outils dans de nombreuses branches de l'analyse. De part leur définition, les espaces L sont les algèbres de von Neumann et les espaces L1 leur préduaux. Plus généralement, les espaces Lp non-commutatifs conservent la mémoire de l'algèbre sur laquelle ils sont construits et apparaissent aux carrefours des algèbres d'opérateurs avec la géométrie non-commutative, la K-théorie ou la physique mathématique. En probabilités ou information quantiques, ils dressent un cadre naturel pour l'étude des martingales non commutatives ou les théorèmes de type ergodiques, des progrès récents ont considérablement relancé ces thèmes de recherche. Pour la théorie des espaces Banach, les espaces Lp sont des exemples intéressants et ont permis de résoudre, souvent par la négative, certaines questions. La récente théorie des espaces d'opérateurs a pour idée d'approcher les algèbres d'opérateurs avec un point de vue d'espace de Banach et inversement. Les espaces Lp non-commutatifs sont également des exemples majeurs d'espaces d'opérateurs ayant énormément d'applications, leur étude suscite l'intérêt de nombreux chercheurs et une vive concurrence internationale. L'analyse harmonique non commutative s'appuie elle aussi sur les constructions d'espaces Lp non commutatifs ou éventuellement à valeurs vectorielles. Etablir de nouveaux résultats sur les espaces Lp devient un véritable enjeu pour la recherche mondiale en analyse fonctionnelle. Beaucoup de chercheurs français y ont contribué, ils ont de nombreuses collaborations avec l'étranger, et sont reconnus sur la scène internationale. Cependant, il n'y a, à proprement parler, pas encore de véritable théorie cohérente de ces espaces unifiant toutes ces approches, mais plutôt une ébauche rassemblant divers résultats, souvent partiels, obtenus jusqu'à présent. L'objectif scientifique de ce projet est de regrouper, autour de l'équipe bisontine, des chercheurs français travaillant dans diverses disciplines utilisant les espaces Lp non commutatifs, afin qu'ils en donnent une étude plus systématique et échangent leurs idées et dégagent ainsi de nouveaux concepts et résultats. En retour, un tel investissement devrait avoir des retombées fructueuses dans chacun des domaines où ces espaces sont utiles. D'un autre coté, ce projet permettra à la jeune équipe d'analyse fonctionnelle de Besançon de continuer son développement et augmenter son rayonnement en devenant un pôle international. Pour y arriver, ce projet envisage de faciliter les échanges entre ses participants en finançant leurs déplacements, mais surtout en s'ouvrant vers l'extérieur, en donnant la possibilité à des chercheurs étrangers renommés de venir travailler en son sein. Il est aussi également envisagé de renforcer humainement l'équipe du projet par le recrutement de plusieurs post-docs. Enfin, l'organisation d'une conférence internationale serait souhaitable pour rendre plus visible cette recherche française. Dresser une liste précise des résultats attendus ici n'aurait que très peu de sens; les questions qui, entre autres, nourrissent le projet tournent autour de la structure linéaire des espaces Lp non-commutatifs comme espaces de Banach ou d'opérateurs, leur rôle en analyse harmonique non commutative , des inégalités de type Khintchine avec leurs applications aussi bien à la théorie des martingales ou aux théorèmes ergodiques qu'au mouvement brown