Inégalités fonctionnelles: probabilités et équations aux dérivées partielles – IFO

Les inégalités fonctionnelles, telles les inégalités de Sobolev, de Poincaré (trou spectral) ou l'inégalité de Gross (Sobolev logarithmique) se sont développées ces vingt dernières années de manière fulgurante. Leur efficacité, que ce soit pour établir des phénomènes de concentration de la mesure et d'isopérimétrie ou pour étudier le comportement en temps long d'équations différentielles stochastiques ou d'équations aux dérivées partielles au travers de l'évolution d'entropies associées, les place au confluent des intér�ts de nombreux analystes et probabilistes. Ce projet réunit des représentants de ces deux communautés. Notre but est de poursuivre l'étude théorique de ces inégalités ainsi que celles de leurs développements récents (inégalités de transport, Poincaré faible, F-Sobolev, Beckner généralisées) et leurs applications. On cherchera à obtenir des critères pour ces inégalités (capacité mesure, Hardy, Gamma2). La clarification de leurs relations est un domaine extremement actif qui soulèvent de nombreux problèmes encore largement ouverts. Sans nul doute, une meilleure compréhension de ces liens permettra d'accro�tre l'efficacité des applications de ces inégalités. La notion d'entropie se retrouve dans la plupart des problèmes en lien avec les inégalités fonctionnelles. Elle peut etre une fonction de taux d'un principe de grandes déviations (théorème de Sanov) ou alors sa décroissance permet de quantifier la convergence vers l'équilibre d'une EDP non-linéaire. Elle apparait donc comme une connexion naturelle entre les théories des probabilités et des EDPs associées à ces problèmes. Un des buts de ce projet est d'explorer ces connexions pour essayer de dégager des principes plus généraux. Jusqu'à présent peu de résultats ont été obtenus pour les inégalités fonctionnelles en dimension infinie. Ces situations sont naturelles dans le cadre de la mécanique statistique (systèmes de spins) ou de la théorie des champs (espaces de chemins, lacets). Les représentations probabilistes permettent d'aborder de fa�on naturelle certaines de ces questions de physique théorique. L'impact des inégalités de transport et des inégalités affaiblies dans ce type de situation n'a encore été que très peu étudié. Nous souhaitons également approfondir l'étude des applications des inégalités fonctionnelles dans des domaines divers allant de la physique à la biologie : stabilisation d'équation de milieu granulaire (thermalisation, approximation numérique), milieu poreux, équation de films minces (équations d'ordre 4), transition de phase en mécanique statistique, inégalités sur les espaces de chemins, dynamique de population, matrices aléatoires. Les membres de ce projet participent déjà activement à la recherche sur les inégalités fonctionnelles. Bien que venant de différents domaines des mathématiques appliquées et porteurs de cultures variées, ils ont déjà pour la plupart l'habitude de se comprendre et de collaborer. Le but d'une telle équipe, déjà opérationnelle, est d'obtenir rapidement des résultats significatifs dans un domaine actuellement central en mathématiques appliquées. Dans un contexte de forte compétition internationale, nous pensons qu'un groupe bien organisé, fort de collaborations internationales de haut niveau et couvrant un domaine large des mathématiques appliquées est en mesure de produire des résultats théoriques significatifs et de les appliquer de fa�on innovante à d'autres domaines des sciences.