Projet sur les Processus de Markov Branchant Additifs – MBAP-P

Les Processus de Branchement Markoviens Additifs (PBMA) sont des systèmes de particules décrivant l'évolution de populations envahissant leur environnement. Ces modèles ont été introduits sous différentes formes, motivés par des questions de physique statistique, de physique des hautes énergies, de biologie ou d'informatique. Ils ont pour point commun de satisfaire une propriété de branchement : les différentes particules du système évoluent de façon indépendante les unes des autres, et donnent naissance à de nouvelles particules de façon markovienne.

Dans un PBMA, la trajectoire de chaque particule est un processus de Markov additif, c'est à dire une marche aléatoire (ou un processus de Lévy) dont la loi des incréments est modulée par un processus de Markov extérieur. Parmi les PBMA les plus étudiés, on compte
- les marches aléatoire branchantes, mouvements brownien branchants, processus de Lévy branchants, dans lequels les trajectoires des particules sont données par des marches aléatoires ou processus de Lévy classiques ;
- les mouvements browniens branchants multitypes, comme le mouvement brownien branchant on-off ;
- les processus persistants branchants, dans lequel les particules conservent une vitesse constante avant de donner naissance à des enfants au bout d'un temps exponentiel, comme dans les modèles de transport de neutrons.

L'objectif de ce projet est de déterminer les mécanismes permettant à ces familles de processus d'envahir leur environnement. Pour ce faire, on s'intéressera au comportement asymptotique du processus extrémal des PBMA, défini comme les positions relatives des particules situées au front d'invasion. Afin de développer des méthodes générales permettant d'étudier ces modèles, on utilisera un mélange de méthodes basées sur l'analyse des processus de branchements et sur les grandes déviations des processus de Markov additifs.