Analyse de Séries Temporelles de Grandes Dimensions – HIDITSA

Du fait du développement considérable des dispositifs d'acquisition et des réseaux de capteurs, il est de plus en plus fréquent d'être confronté à des signaux de grandes dimensions dans des contextes applicatifs aussi divers que les communications numériques, la surveillance de l'environnement, , la surveillance des
procédés industriels, l'analyse des séries temporelles financières...Dans ce cadre, il n'est pas toujours possible de collecter un nombre d'observations arbitrairement grand pour faire de l'inférence statistique car les signaux peuvent être brefs et/ou pas stationnaires sur des durées assez grandes. Dans ces conditions, un bon nombre de techniques statistiques classiques ne se comportent pas comme dans les cas traditionnels où les signaux sont de petites dimensions. Cet état de fait a suscité ces dernières années le développement de nouvelles approches statistiques susceptibles de fonctionner dans le contexte des grandes dimensions.

Nombre de travaux ont en particulier proposé d'utiliser et développer des techniques basées sur la théorie des grandes matrices aléatoires dans le contexte des signaux de grande dimension, traditionnement modélisé par des régimes asymptotiques dans lesquels la dimension M des signaux et le nombre N d'observations tendent vers l'infini.
Ces contributions ont essentiellement concerné des problèmes de détection et estimation posés dans le cadre du modèle de traitement d'antenne bande étroite, appelé par les statisticiens le modèle linéaire factoriel statique. Dans ce cadre, un grand nombre de techniques statistiques classiques mettent en jeu des fonctionnelles de la matrice de covariance empirique des observations. Dans le cadre des signaux de grande dimension, les outils relevant des grandes matrices aléatoires permettent alors d'évaluer le comportement asymptotique de ces fonctionnelles, et d'en déduire des approches permettant d'améliorer les performances des approches traditionnelles.

Le projet HIDITSA se focalise sur des problèmes d'inférence statistique qui concernent des signaux gaussiens
relevant du modèle de traitement d'antenne large bande, connu chez les statisticiens sous le nom modèle linéaire factoriel dynamique. Dans ce contexte, le signal observé est une version bruitée (le bruit est gaussien) de la sortie
d'un système linéaire K<M entrées / M sorties de fonction de transfert rationnelle excité par un bruit blanc gaussien de dimension K. Il est alors fréquent de chercher à inférer des informations sur les statistiques du second ordre<br />du signal utile à partir des N observations disponibles. De nombreux estimateurs classiques sont des fonctionnelles de certaines statistiques fondamentales telles que les matrices de covariance spatio-temporelle empiriques,
les matrices d'autocovariance spatio-temporelles empiriques entre le futur et le passé ou des estimateurs de la
densité spectrale du signal observé. Le but du projet HIDITSA est de développer de nouvelles techniques
basées sur les grandes matrices aléatoires afin de préciser le comportement de ces statistiques, et d'en déduire de nouvelles approches permettant d'aborder des problèmes de détection / estimation fondamentaux. Le comportement des techniques développées dans le cadre traditionnel des petites dimensions est d'abord analysé, et les conditions sous lesquelles elles demeurent consistantes en grande dimension sont précisées. Quand la consistante est perdue, les nouveaux résultats permettent de concevoir de nouveaux schémas plus performants. Deux grandes classes de problèmes sont abordées. Tout d'abord l'estimation de paramètres de la réprésentation d'état du signal utile (valeurs propres de la matrice de transition, estimation de l'état courant à partir des observations passées), et quand le bruit additif est décorrélé spatialement, l'étude de tests de détection du signal utile consistant à vérifier si les composantes
du signal obervé sont décorrélées (absence de signal) ou non (présence de signal).