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Analyse asymptotique des Equations aux dérivées partielles d'évolution – ANAÉ

EDP, DYNAMIQUE ET APPROCHES STATISTIQUES

Comme présenté dans le titre de la proposition , les lignes directrices de notre projet sont l'étude de équations aux dérivées partielles dans certains régimes asymptotiques. Les objectifs sont d'obtenir sur divers sujets des descriptions profondes du comportement dynamique des solutions ( ce qui signifie que dans certains cas, nous aurons dans une première étape à prouver l'existence de ces solutions). L'originalité de notre projet est que nous avons l'intention de le faire en mélangeant ensemble des idées venant de différents domaines tels que les systèmes dynamiques (KAM , petits diviseurs et formes normales , par exemple) ou des probabilités , en étudiant certaines quantités statistiques plutôt que d'utiliser approche déterministe plus précise (mais moins facile )

Résultats

For Paris-Nord partyner: Depuis le début du contrat, Jean-Marc Delort a travaillé sur l'équation de Klein-Gordon semilinéaire modifiée à données petites et régulières.

Hatem Zaag a poursuivi plusieurs travaux ayant trait aux problèmes d'explosion pour les équations des ondes ou de la chaleur.

Pour le partenaire Nantes :
Thomann a travaillé sur le scattering modifié pour l'équation de Schrodinger

Il a aussi développé avec Burq et Tzvetkov une nouvelle approche pour construire des solutions faibles probabilistes,à l'aide d'une mesure de Gibbs.
Grébert a développé la méthode KAM pour des équations dispersives

Pour le partenaire Paris-Sud
En collaboration avec Sandrine Grellier,
P. Gérard a poursuivi l'étude de l'équation de Szeg\H{o} cubique.

Ils ont obtenu deux types de résultats :
- Construction d'une transformation spectrale inverse globale, prenant en compte
les phénomènes de multiplicité spectrale,
- Application à la turbulence faible : construction de solutions à grandes
normes de Sobolev non bornées.
H. Xu a terminé sa thèse
Sur certains systèmes hamiltoniens liés à l’équation de Szego cubique«, et
effectuée sous la direction de P. GÉRARD

T. Alazard, N. Burq et C.Zuily ont développé l'approche semi-classique pour obtenir des estimées de dispersion pour l'équation des water-waves
N. Burq et C.Zuily se sont aussi intéressés à comprendre les effets de concentrations des fonctions propres du laplacien sur les tores (ou plus généralement des quasi-modes) afin d'obtenir de nouveaux résultats de stabilization
N. Burq (avec R. Joly) a aussi obtenu de nouveaux résultats de stabilisation pour les ondes en domaine non bornés.
N.Burq (avec G. Raugel et W. Schlag) s'est intéressé à la dynamique en temps grand de l'équation de Klein-Gordon non linéaire amortie.
Alazard a obtenu de nouveaux résultats de contrôle pour l'équation des water-waves.

Perspectives

1) L'équation de Szego cubique et la présence de turbulence faible : construction de solutions à grandes normes de Sobolev non bornées. Actualités scientifiques de l'INSMI. www.cnrs.fr/insmi/spip.php (Gerard, Grellier)
2) Contrôle des water-waves (Alazard, Baldi, Han-Kwan)
3) Dynamique en temps grand de l'équation de Klein-Gordon non linéaire amortie (Burq, Raugel, Schlag)

Productions scientifiques et brevets

1. arXiv:1507.02307 N. Burq, D.Dos Santos, K. Krupchyk

2. arXiv:1505.05981 N. Burq , G. Raugel , W. Schlag

3. arXiv:1503.05513 N Burq , C. Zuily

4. arXiv:1503.02058 N. Burq , C. Zuily

5. arXiv:1412.7499N. Burq , L. Thomann Nikolay Tzvetkov

6. arXiv:1408.6054 N. Burq, Romain Joly

7. arXiv:1506.08520 T. Alazard

8. arXiv:1501.06366 T. Alazard, P. Baldi, Daniel Han-Kwan

9. arXiv:1405.1934T. Alazard, P. Baldi

10. arXiv:1509.03520 V.T. Nguyen, H. Zaag

11. arXiv:1506.08306 S. Tayachi, H. Zaag

12. arXiv:1506.07708 FM., N. Nouaili, H. Zaag

13. arXiv:1410.4079 VT. Nguyen, H. Zaag

14. arXiv:1406.5233 VT., H. Zaag

15. arXiv:1509.06873 T. Oh, G. Richards, L. Thomann (IECL)

16. arXiv:1509.02093 T. Oh, L. Thomann (IECL)

17. arXiv:1505.01698 F. Hérau (LMJL), L. Thomann (LMJL)

18. arXiv:1502.07699 B. Grébert (LMJL), E. Paturel (LMJL), L. Thomann (LMJL)

19. arXiv:1502.05643 Pierre Germain (CIMS), Zaher Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL)

20. arXiv:1501.03760 P. Germain (CIMS), Z. Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL)

21. arXiv:1408.6213 . Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL)

22. arXiv:1403.4913 R. Imekraz (IMB), Didier Robert (LMJL), L. Thomann (LMJL)

23. arXiv:1502.07699 B. Grébert (LMJL), E. Paturel (LMJL), L. Thomann (LMJL)

24. arXiv:1508.06814 S. Grellier , Patrick Gerard

25. arXiv:1402.1716 . Gerard , S. Grellier

26. hal-00945805v1 JM. Delort.

Résumé de soumission

Ces dernières années ont vu un développement très rapide et profond dans le domaine des équations aux dérivées partielles d'évolution (et tout particulièrement les équations dispersives). Ces avancées majeures permettent des perspectives qui auraient pu sembler complètement hors de portée il y a seulement quelques années et ouvrent la perspective très excitante de pouvoir étudier des propriétés dynamiques profondes des solutions des équations aux dérivées partielles. D'un coté, les spécialistes des systèmes dynamiques on réussi à étendre les méthodes et les idées développées pour l'étude des systèmes de dimension finie au cadre des modèles de dimension infinie. Cette approche a conduit à des résultats spectaculaires sur le comportement en temps long de certaines solutions d'EDP, en particulier en dimension 1 d'espace. D'un autre coté, les outils développées dans le domaine des EDP pourraient aussi permettre des avancées majeures si on les combinaient avec des propriétés dynamiques. Finallement, l'étude des EDP en présence d'aléatoire, un domaine dont les origines remontent aux idées de mécanique statistique a aussi vu récemment des développements spéctaculaires.

L'objet de ce projet est de combiner ensemble des idées venant de ces différents points de vue, et de les appliquer à l'étude du comportement des solutions d'EDP dans certains régimes asymptotiques:
-- Comportement en temps long
-- Existence, Diffusion,
-- Stabilités ou instabilités de solutions particulières
-- Explosions.

Nicolas BURQ (Laboratoire de mathématiques d'Orsay)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

LMO UMR 8628 Laboratoire de mathématiques d'Orsay
LAGA UMR 7539 LAGA Université Paris-Nord
LMJL UMR 6629 Laboratoire de mathématiques Jean Leray, Université de Nantes

Aide de l'ANR 245 000 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2013 - 48 Mois

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