Interactions entre espaces d'opérateurs et probabilités quantiques et leurs applications à l'information quantique – OSQPI

En analyse non-commutative, les théories des espaces d'opérateurs et des probabilités quantiques ont interagi avec succès. Leurs liens avec l'information quantique commencent à peine à être explorés. Les espaces Lp non-commutatifs sont au coeur de ces relations et apparaissent également dans les recherches mathématiques autour de la physique quantique. Toutes ces "mathématiques quantiques" sont à la frontière entre mathématiques et physique théorique, leurs développements auront certainement un impact profond sur l'information quantique et l'implémentation des algorithmes quantiques. Les premiers résultats mêlant espaces d'opérateurs, probabilités et information quantiques sont déjà impressionnants. Ce projet a pour ambition de développer de manière significative ces interactions et ainsi d'ouvrir de nouvelles perspectives dans chacun de ces domaines très compétitifs.

Des explorations sporadiques de ces liens sont à l'origine de résultats clés récents en mathématiques quantiques. Il semble opportun d'entamer un programme structuré pour exploiter pleinement leurs richesses. Il s'articulera autour des espaces Lp non-commutatifs, des inégalités de martingales non-commutatives ou matricielles. En effet, ces inégalités de caractère probabiliste quantique jouent un rôle central en espaces d'opérateurs et probabilités quantiques; elles s'appliquent naturellement en physique et information quantiques. L'originalité de ce projet réside dans l'approche systématique de chacune des connexions possibles pour former un programme cohérent qui ira bien au delà des connaissances actuelles. La théorie des espaces d'opérateurs et des Lp non-commutatifs n'a quasiment pas été utilisée en information quantique jusqu'à présent. Nous pensons que les "mathématiques quantiques" sont à moment charnière de leurs évolutions et que toutes les disciplines évoquées sont suffisamment mûres pour être explorées conjointement. Ce projet initiera de nouvelles recherches avec un vaste spectre en analyse non-commutative.

De manière plus détaillée, le programme se divise en trois axes. Le premier se consacre à l'étude des espaces d'opérateurs en utilisant des modèles de probabilités quantiques. Il traitera du programme de Grothendieck pour lequel des réalisations concrètes d'espaces d'opérateurs s'avèrent plus que nécessaires. Un autre aspect est l'étude des exemples fondamentaux d'applications complètement bornées que sont les multiplicateurs ainsi que leurs applications aux propriétés d'approximation par exemple. La seconde direction va en sens inverse et s'intéresse à l'apport des espaces opérateurs en probabilités quantiques. L'objectif principal et ambitieux est le développement d'une théorie analytique de l'intégration stochastique rendue désormais possible par les inégalités de martingales non-commutatives. Elle devrait ouvrir la porte à une multitude d'applications, comme en probabilités classiques. L'étude des dilatations de Markov ainsi que des formes de Dirichlet associées est un autre aspect de cet axe, tout comme les déformations d'espaces de Fock ou de groupes quantiques. Le troisième se propose de regarder les applications des espaces d'opérateurs et probabilités quantiques à l'information quantique, en ayant en tête les questions autour des inégalités de Bell, l'intrication (= entanglement) quantique et les notions d'entropie ou de capacité. Enfin, ces développements devraient permettre de s'attaquer à des questions fondamentales dans chacune de ces trois disciplines.