Théories de classification et géométrie birationnelle des variétés algébriques et de leurs séries linéaires. – CLASS

La classification des variétés algébriques a toujours été une des questions principales en géométrie algébrique. Le programme du modèle minimal (MMP en anglais) est une approche à la classification qui a été introduite au début des années '80 par Kawamata, Kollár, Mori, Reid, Shokurov et beaucoup d'autres. Son but initial était de généraliser en toute dimension la classification des surfaces algébriques obtenue par l'école italienne. Le travail dans le MMP et, en particulier, la découverte de son cadre naturel (celui des paires singulières) a produit une multitude d'outils extrêmement puissants, dont les applications ont largement dépassé le but initial de classifier les variétés selon la positivité de leur diviseur canonique.

Plus récemment, Campana a introduit un autre programme de classification des variétés algébriques complexes. La classification qu'il propose identifie deux géométries "pures" : la géométrie "spéciale" et la géométrie "de type général". Cela demande de remplacer les variétés par des paires d'un certain type. Les paires de Campana sont ensuite étudiées comme des objets géométriques à part entière, ayant tous les attributs "naturels" des variétés ordinaires : morphismes, transformations birationnelles, formes différentielles, groupe fondamental et points rationnels.

D'autre part notre compréhension de la géométrie birationnelle des systèmes linéaires a beaucoup progressé dans les 10 dernières années, grâce aux travaux de l'école japonaise et de Demailly, Ein, Lazarsfeld, Siu et de leurs collaborateurs. On sait bien que les séries linéaires amples ont des belles propriétés géométriques, cohomologiques et numériques. L'introduction de nouveaux invariants asymptotiques et d'un formalisme flexible et puissant (celui des idéaux multiplicateurs) leurs a permis de développer une théorie cohérente pour les diviseurs big, dont le comportement semblait fort pathologique jusqu'à très récemment.

Il y a toujours eu un échange naturel de résultats, motivations et techniques entre les théories de classification et la géométrie birationnelle des variétés et de leurs séries linéaires. Cette interaction dynamique a culminé dans le travail de Hacon and McKernan : l'application au MMP des résultats les plus puissants de la théorie générale des séries linéaires et la découverte de nouveaux résultats a été l'une des clés de leurs récentes avancées dans le domaine.

Notre expertise, nos intérêts scientifiques et les objectifs que nous nous proposons de réaliser dans ce projet se situent exactement au croisement de ces 2 grands axes de recherche. Il s'agit d'un carrefour extrêmement fertile où les résultats récents et les techniques venant des théories de classification peuvent accroître notre compréhension des séries linéaires, et les progrès techniques en géométrie birationnelle peuvent potentiellement conduire à des avancées significatives dans les théories de classification. Nos efforts se concentreront en particulier sur les 2 thèmes suivants, qui occupent une place centrale dans le domaine : les courbes rationnelles sur les variétés singulières et quasi -projectives, et les systèmes linéaires (anti-)adjoints.

Le moment est très favorable. Des progrès impressionnants ont été réalisés et de nombreux nouveaux outils puissants sont disponibles. Cependant, beaucoup de questions fondamentales restent ouvertes et plusieurs techniques nécessitent d'être améliorées pour obtenir de nouveaux résultats. Ce projet serait une opportunité unique d'implanter solidement ces thématiques importantes en France, et permettrait la création d'un groupe de recherche fort, jeune et complet, probablement le premier de ce type en Europe continentale, un groupe qui pourrait interagir et entrer en compétition avec ceux qui existent déjà, aux EE.UU., au Royaume-Uni et au Japon.