Arithmétique des variétés en familles – ARIVAF

Le thème principal de notre projet est l'étude de la variation de propriétés de nature arithmétique dans les familles de variétés. Ici, la notion de famille de variétés doit être comprise soit dans son acceptation géométrique classique de schéma plat et de type fini sur un autre soit dans son acceptation plus catégorielle de champ algébrique.

Les chercheurs impliqués dans le projet travaillent sur certains aspects spécifiques de cette question fondamentale en utilisant des approches de nature différente mais toujours dans le cadre globale de la géométrie arithmétique. Citons notamment la théorie de la déformation, la théorie des champs algébriques, l'étude des points rationnels sur les espaces de modules (courbes modulaires, variétés de Shimura, espaces de Hurwitz etc.), groupe fondamental étale des schémas et des champs, groupes tannakiens, représentations l-adiques, géométrie diophantienne etc. qui, tous, sont des domaines de recherche actifs tant en France qu'à l'étranger.

On considère souvent que la géométrie arithmétique moderne est née en France, sous l'impulsion d'A. Grothe,dieck qui, entouré de l'équipe française, en a élaboré les fondements dans les EGA et SGA. A peu près à la même période, la géométrie diophantienne, dont les préoccupations sont de nature plus effective et quantitative, a commencé à mettre en place des techinques puissantes - comme la théorie des hauteurs - pour étudier les points rationnels sur les variétés. L'interaction entre les outils théoriques du formalisme de Grothendieck et ceux d'avantage pratiques de la géométrie diophantienne n'a cessé de croître et la conjugaison fructueuse de ces deux approches - maintenant presque indissociables - a soutenu le développement impressionnant de la géométrie arithmétique au cours de ces 50 dernières années.

L'objectif de notre projet est d'approfondir notre compréhension de certains des principaux problèmes en jeux dans l'étude de la variation de propriétés de nature arithmétique dans les familles de variétés ainsi que les différentes approches et techniques qui ont été développés pour tenter de les résoudre. A cette fin, notre stratégie est d'organiser des workshops de1 à 3 jours organisés en séquence de 3 jours (2 à 3 par an en moyenne) dans un esprit mixte groupe de travail/conférence. Nous espérons que ce partage de connaissances apportera à chacun un éclairage nouveau sur les problèmes qu'il étudie et permettra de développer naturellement des collaborations entre les divers participants.

Du fait de sa dimension transverse et de ses objectifs d'assimilation de connaissance, nous espérons que notre projet interagira avec d'autres projets plus spécialisés en géométrie arithmétique ou diophantienne.