Méthodes asymptotiques appliquées à la science des matériaux – AMAM

Les modèles mathématiques sur les instabilités matérielles tels que les transitions de phases, la plasticité, la rupture, ou le micromagnetisme, sont des exemples d'équations dont l'analyse est la source de problèmes difficiles pour les mathématiciens. De récents travaux ont été consacrés à la justification de théories effectives (analyse asymptotique), et à l'étude de l'existence, de la régularité et du comportement singulier des solutions de problèmes non-convexes, non locaux (etc.). Nous nous concentrerons sur les structures multi-échelles dans des équations aux dérivées partielles non linéaires. Ces structures peuvent avoir plusieurs origines, par exemple en raison d'un petit paramètre explicite et caractéristique du modèle (comme c'est le cas dans l'homogénéisation ou dans des modèles de micromagnetisme). Elles peuvent également être plus subtiles et apparaitre comme le résultat d'une compétition entre deux termes d'une fonctionnelle d'énergie (comme c'est le cas dans les modèles de transitions de phase). Pour ces deux types de problèmes, les outils mathématiques appropriés sont généralement issus de méthodes de compacité, de mesures de Young, de Gamma-convergence, de solutions de viscosité, de flots de gradient, etc. Certains de ces outils ont déjà fourni des indications très profondes dans certains problèmes tels que les transitions de phase ou le micromagnetisme, et doivent encore être développés.

L'objectif de ce projet est de créer une équipe de cinq jeunes mathématiciens ayant des compétences différentes et complémentaires afin de : partager et d'échanger leurs compétences, de prendre efficacement part au développement d'outils d'analyse non linéaire, étudier des modèles issus de la science des matériaux.

Notre programme scientifique peut être divisé en trois grandes parties:

• Homogénéisation non standard: Tout d'abord, nous souhaitons étudier des problèmes d'homogénéisation non standard, à savoir des problèmes avec des hypothèses non standard sur la structure spatiale (au-delà du cadre périodique) ainsi que des problèmes de structure d'opérateur non standard (au-delà du cadre continu). Nos objectifs principaux sont d'étudier et d'appliquer la notion de structure homogénéisée introduite par Nguetseng, et de traiter l'homogénéisation de certains systèmes discrets.

• Micromagnetisme: Par leur nature multi-échelle, les matériaux ferromagnétiques présentent des microstructures complexes telles que les domaines magnétiques, les parois (murs de Néel, murs de Bloch, noeuds de cravate) ou les tourbillons (lignes de Bloch). Nous avons l'intention d'étudier des modèles variationnels pour prédire la morphologie d'un spécimen donné à différentes échelles.

• Mécanique du défaut: Nous avons l'intention d'analyser l'endommagement, les fissures et les dislocations dans divers contextes tels que l'évolution quasi-statique ou les les mouvements minimisants. En outre, nous tenons à mettre en évidence certains liens entre : endommagement / homogénéisation, fracture / Mumford-Shah, dislocations / vortex de Ginzburg-Landau.