Logistique des Equations Différentielles Algébriques – LEDA

Le projet LEDA (Logistique des Équations Différentielles Algébriques) est centré autour des systèmes décrits par des équations différentielles algébriques (EDA).Il s'agit de
mettre en œuvre une logistique globale pour la modélisation, la transformation, puis la résolution formelle et/ou numérique efficace de systèmes décrits par des EDA. Les modélisations proviennent de phénomènes physico-chimiques ou de phénomènes biologiques. Les systèmes EDA issus de ces modélisations ne sont pas intégrables
par les méthodes classiques et leur initialisation est difficile.
Le projet LEDA comprend quatre partenaires : l'Institut Mathématiques de Toulouse (IMT, coordinateur), le Laboratoire de Génie Chimique de Toulouse (LGC), le Laboratoire d'Informatique de Lille (LIFL) et le Laboratoire d'Informatique de l'École Polytechnique. Ce projet s'est construit à partir du projet exploratoire PEPS LEDA attribué au cours de l'année 2009 par le CNRS. Sur la base d'exposés scientifiques et de réalisations logicielles présentés par chacune des équipes, une collaboration au travers d'un montage d'un projet ANR pouvait être envisagée au vu du contexte international dans le domaine du traitement des systèmes EDA.
Le champ d'investigation de ce projet comprend trois volets : les aspects modélisation, les aspects résolution et les aspects logiciels. L'approche simultanée par le calcul formel et par le calcul numérique constituera la logistique et le cadre de travail pour traiter des problèmes de modélisation et de résolution des EDA.
Les modélisations visées concernent les procédés de distillation réactive ainsi que les réseaux de régulation des gènes en biologie. Le traitement et la résolution des modèles de distillation en phase liquide et vapeur est un des points originaux du projet. De même la modélisation des réseaux de régulation de gènes par des équations différentielles non linéaires paramétriques est bien adapté aux outils relevant de l'algèbre différentielle.
La résolution formelle et/ou numérique de ces systèmes rencontre des difficultés structurelles dont la cause principale est la notion d'index. L'approche formelle s'appuiera sur les travaux de Jacobi/Pryce. Dans ce contexte, les résultats du groupe TERA (Turbo Evaluation and Rapid Algorithms), peuvent être mis à profit de manière décisive. Tournant le dos aux méthodes de réécriture classiques, trop coûteuses, on privilégie une représentation des polynômes comme programmes d'évaluation, les bornes fournies par Jacobi permettant alors d'estimer au plus près la taille du système algébrique à résoudre. Ce contexte permet également de concevoir des méthodes numériques adaptées à des EDA d'index élevés.
L'aspect logiciel est basé sur des réalisations logicielles existantes au sein des partenaires du projet comme par exemple la librairie BLAD, qui vient d'être intégré au logiciel Maple 14 ou celle dédié à la résolution de modèles de distillation. Nous proposons de faire évoluer ces librairies en profitant du développement de la librairie Mathémagix au sein de l'ANR MAGIX. Mathémagix est un logiciel libre qui présente deux avantages majeurs pour notre projet : il est sans contrainte propriétaire et il offre des possibilités de faire cohabiter le calcul formel et le calcul numérique que l'on ne trouve pas ailleurs. De plus nous utiliserons des librairies déjà existantes (SUNDIALS ou DAETS) dédiées à la résolution des EDA à des fins d'expertise et d'élaboration d'une plateforme de tests.
Nous escomptons deux avancées majeures de ce projet.
1- La modélisation de procédés de distillation réactive et des cellules in silico sont des enjeux scientifiques et économiques majeurs. L'amélioration des méthodes automatiques de réduction de modèles y contribue.
2- L'apport du calcul symbolique dans les systèmes EDA est étape décisive pour parvenir à la génération automatique de ''solveurs'' numériques fiables, voire certifiés, pour une très large classe de systèmes.