Déformations de variétés de Poisson à singularités – DPSing

Une algèbre de Poisson est une algèbre commutative munie d'une opération, le crochet de Poisson, généralisant le crochet hamiltonien des observables d'une variété symplectique. Une variété de Poisson est une variété M telle que l'algèbre des fonctions régulières de M est munie d'une structure d'algèbre de Poisson. La notion d'algèbre de Poisson, introduite pour modéliser les équations d'Hamilton, a été utilisée de façon fructueuse pour étudier les systèmes intégrables de la mécanique classique et leurs analogues quantiques. Les résultats de la géométrie de Poisson portent habituellement sur des structures de Poisson associées à des variétés lisses. Le propos de ce projet sera d'étudier le comportement de structures de Poisson en présence de singularités: singularités de la structure de Poisson elle-même, ou singularités de la variété sous-jacente. On étudiera plus particulièrement l'effet de singularités en cohomologie et sur la structure d'espaces de déformations de Poisson. Ainsi les quantifications par déformation sont des déformations formelles d'algèbres de Poisson dans la catégorie des algèbres associatives. D'après un théorème de M. Kontsevich, pour une structure de Poisson sur une variété lisse, les classes d'isomorphismes de quantifications par déformation sont en bijection avec les classes d'isomorphismes de déformations dans la catégorie des algèbres de Poisson. On étudiera les généralisations possibles de ce résultat pour des structures de Poisson sur des variétés à singularités isolées. On espère que la présence de singularités fera apparaître de nouveaux phénomènes quantiques. Une structure de Poisson sur une variété lisse est régulière si elle est définie par une structure symplectique de rang localement constant, singulière sinon. Pour mieux comprendre ces singularités, nous étudierons, pour les structures de Poisson sur une variété lisse M, des relations entre singularités de la structure de Poisson et singularités géométriques du centre de M (le centre d'une algèbre de Poisson A est l'idéal des éléments annulant le crochet de Poisson de A, le centre d'une variété de Poisson M est le lieu des zéros du centre de l'algèbre de Poisson des fonctions régulières de M). On abordera ensuite l'étude de singularités plus compliquées, comme des superpositions dans une même variété de Poisson de singularités de la structure de Poisson et de singularités de la variété sous-jacente. On étudiera l'effet de telles superpositions en cohomologie et sur la structure des espaces de déformations. Les déformations de structures de Poisson seront étudiées avec les outils modernes de l'algèbre homologique : théorie des opérades, équivalences L-infini, et généralisations de la cohomologie de Poisson pour des variétés singulières. Le point de départ du projet sera contenu dans les travaux de la candidate-coordinatrice sur la cohomologie de Poisson de surfaces, la classification des déformations de structures de Poisson sur des surfaces à singularités isolées qu'elle a obtenue et l'interprétation de ce résultat en termes d'équivalences L-infini. La généralisation aux variétés de dimension quelconque s'appuiera sur l'expertise de membres de l'Université Lille 1 sur les applications générales de la théorie des opérades.