– CRARTIN

En 1968, M. Artin a démontré son célèbre théorème d'approximation: pour tout système d'équations analytiques et pour toute solution formelle du système, on peut approcher la solution formelle par des solutions convergentes. Ici l'approximation est entendue au sens de la topologie de Krull. Le fait de savoir qu'une solution formelle d'un problème donné puisse être approchée par des solutions convergentes est une question fondamentale dans bon nombre de champs mathématiques. Par exemple, l'équivalence de structures géométriques données ou de systèmes dynamiques (de type analytique) se réduit souvent à la question de l'équivalence formelle de ces objets: il est alors nécessaire de pouvoir exhiber diverses conditions (en général analytico-géométriques) sur les objets qui force l'équivalence formelle obtenue à être une équivalence analytique. En géométrie CR, le problème correspondant, qui nous intéressera dans le cadre de ce projet, peut être formulé de la façon suivante: Etant données deux germes de sous-variétés analytiques réelles $M$ et $M'$ plongées dans des espaces euclidiens (de dimension a priori différente) et une application formelle $H$ holomorphe envoyant $M$ sur $M'$, peut-on trouver une application holomorphe convergente, envoyant $M$ sur $M'$ et qui soit aussi proche que l'on veut (dans la topologie de Krull) de l'application $H$ de départ?(Problème 1). Si, pour un couple de germes $(M,M')$ comme çi-dessus, la réponse est positive on dira que $(M,M')$ a la propriété d'approximation d'Artin. Le problème 1 peut être vu comme un mélange de la version réelle et complexe du théorème d 'approximation d'Artin. En effet, les variétés sont analytiques réelles mais les applications sont analytiques complexes. Le fait que l'on ait effectivement besoin d'imposer un certain nombre de conditions aux variétés provient d'un résultat bien connu de Moser et Webster en 1983 : il existe une paire de germes de sous-variétés analytiques réelles de codimension réelle deux dans l'espace complexe euclidien à deux dimensions qui sont formellement holomorphiquement équivalentes mais pas biholomorphiquement équivalentes. Ainsi, cette paire de variétés ne possède pas la propriété d'approximation d'Artin. Dans l'exemple de Moser-Webster, l'une des caractéristiques fondamentale de la paire de variétés réside dans le fait qu'elles sont totalement réelles sauf en un point pour lequel on a un espace tangent complexe non trivial. Il semble alors raisonnable de supposer qu'un tel phénomène n'ait pas lieu pour peut-être obtenir la propriété d'approximation. Cette condition revient à supposer qu'il n'y a pas de saut dans la distribution des espaces tangents complexes, c'est-à-dire que les variétés sont CR (Cauchy-Riemann). Ceci nous amène à une autre question très générale, mentionnée, entre autres par F. Treves, à savoir: est -ce que toute paire de germes de variétés CR analytiques réelles a la propriété d'approximation d'Artin? Il s'agit là du deuxième problème qui occupera l'essentiel des protagonistes de ce projet.