Méthodes hamiltoniennes et markoviennes en mécanique quantique hors équilibre – HAM-MARK

Nous voulons développer des outils mathématiques dans le but de comprendre les propriétés thermodynamiques des systèmes quantiques hors de l'équilibre. En effet, alors que la structure mathématique des systèmes à l'équilibre thermodynamique est bien comprise, la situation est loin d'être satisfaisante concernant le régime hors d'équilibre. Contrairement aux états d'équilibre qui peuvent être caractérisées de plusieurs manières (condition KMS, propriété de Gibbs, équation DLR, principes variationnels, etc.), il n'existe aucun moyen satisfaisant de caractériser les états hors d'équilibre. Il y a des problèmes encore plus fondamentaux à résoudre dans ce domaine, comme la validité de la loi de Fourier, qui est certainement un des problèmes les plus importants de la physique-mathématique actuelle. La stratégie que nous voulons adopter est celle qui a émergé des récents développement du sujet. Elle est basée sur deux approches différentes. ? Les états hors d'équilibre intéressants sont ceux qui sont sélectionnés naturellement par la dynamique du système. La construction d'un tel état s'appuie donc sur l'asymptotique de l'évolution d'une certaine classe d'états initiaux. On parle "d'approche hamiltonienne" quand l'étude de l'asymptotique est basée sur la dynamique complète du système couplé S+R. Le cadre mathématique de cette étude fait appel à des outils extrémement sophistiqués. En effet, la description des états d'équilibre thermique des réservoirs (qui ont un nombre infini de degrés de liberté) nécessite l'utilisation d'outils comme les algèbres de von Neumann, la théorie modulaire de Tomita-Takesaki, ... En particulier, la définition du générateur pertinent de la dynamique, le liouvillien standard (Jaksic-Pillet 1996) près de l'équilibre ou le C-liouvillien (Jaksic-Pillet 2002) loin de l'équilibre, est entièrement basée sur cette théorie modulaire et ses propriétés fines. Les premières preuves rigoureuses du retour à l'équilibre (Jaksic-Pillet, Bach-Fröhlich-Sigal, Derezinski-Jaksic, Fröhlich-Merkli) sont toutes basées sur l'étude spectrale fine du Liouvillien standard. ? Dans certains cas, en choisissant bien les échelles de temps et d'espace, il est possible d'obtenir une description réduite de la dynamique hamiltonienne. Le caractère markovien de la dynamique effective du petit système, obtenue ainsi, présente de grandes simplifications et permet de traiter des modèles pour lesquelles l'aproche hamiltonienne aurait été impossible à traiter. On parle "d'apporche markovienne" quand les états de non-équilibre sont obtenus à partir de cette dynamique effective. Plus généralement, on peut obtenir cette dynamique Markovienne sur S lorsque l'on abandonne l'idée de décrire l'environnement R (soit parce qu'il est trop compliqué, inaccessible, ou inconnu). On remplace alors les effets de l'interaction du petit système S avec son environnement par des bruits quantiques. L'équation d'évolution devient alors équation différentielle stochastique quantique, dont les solutions, des processus de Markov quantiques, induisent un semigroupe d'applications complètement positives sur le petit système. Son générateur, dit de Lindblad, présente, comme les générateurs usuels des processus de Markov, une partie différentielle d'ordre 1 (qui décrit la dynamique déterministe du petit système) et une partie diférentielle d'ordre 2 (qui décrit la dissipation du petit système). Les outils utilisés pour étudier la convergence de tels systèmes sont du même type que dans la théorie classique des processus de Markov (recurrence-transiance, mesures invariantes, théorie du potentiel, trou spectral, inégalités de Sobolev, ...). Les relations scientifiques entre ces deux approches sont pour le moment assez pauvres. Nous pensons qu'il est très important de les developper toutes deux et que les liens que l'on pourrait établir seront sources de nombreux résultats et développements. Par exemple, l'analyse spectrale du C-liouvillien requiert une étude du spectre du générateur de Lindblad obtenu dans la limite de couplage faible. Inversement, la dynamique makovienne peut être associé à une vraie dynamique unitaire du système total par une dilatation unitaire du semigroup de Lindblad (Attal-Pautrat, Derezinski-De Roeck). Dans certains cas même, les deux approches coincident : c'est le modèle d'interactions quantiques répétées (Attal-Pautrat) qui permet d'exhiber un comportement qui est à la fois hamiltonien et markovien. Dans une certaine limite (interactions quantiques continues) elle converge vers une équation différentielle stochastique quantique (une équation de Langevin quantique) (Attal-Pautrat 2003). Ce modèle a permis de valider une forme définitive pour les équations de Langevin quantiques associées à un bain de chaleur quantique (Attal-Joye 2006). Ces modèles d'interactions quantiques répétées ont un vrai sens physique et correspondent à des expériences effectives en optique quantique.