Théorie de Garside – TheoGar

Ce projet a pour cadre général la théorie des tresses. Son objectif est de développer l'étude d'une des composantes principales de cette théorie : les structures de Garside. Notre but est de construire une théorie de ces structures, et de l'appliquer aux nombreuses situations d'algèbre, de géométrie, et de topologie de basse dimension où elles apparaissent. Les tresses sont des objets centraux et omniprésents en mathématiques. La théorie des tresses fait partie de la théorie des groupes ainsi que de la topologie de basse dimension. Elle a des ramifications dans différents domaines des mathématiques tels que la géométrie algébrique, la théorie des représentations, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, et la topologie algébrique, et a des (tentatives d') applications à d'autres sciences telles que l'astrophysique ou la cryptologie. L'objet principal de la théorie des tresses est l'étude des groupes de tresses ainsi que de diverses extensions comme les groupes d'Artin-Tits ou les groupes de tresses de surface. En 1969 Frank Garside a résolu le problème de conjugaison dans les groupes de tresses. Sa solution repose sur la possibilité d'exprimer toute tresse comme quotient de deux tresses appartenant à un certain sous-monoïde du groupe des tresses, le monoïde des tresses positives, et sur la structure de treillis de ce sous-monoïde. Depuis lors, les méthodes de Garside sont devenues des outils fondamentaux de la théorie des tresses. En 1999, deux d'entre nous [PD, LP] ont montré qu'une grande partie des résultats de Garside peut être étendue à une classe plus large de groupes maintenant appelés groupes de Garside. Les groupes de tresses en sont des exemples, mais beaucoup d'autres sont connus maintenant. Plus récemment, plusieurs chercheurs, dont Bessis, Krammer, Michel et plusieurs d'entre nous [PD, FD, EG], ont observé qu'une notion plus générale d'action sur une catégorie de Garside fournit un cadre à la fois plus élégant et plus puissant, permettant d'inclure de nouveaux exemples. Par exemple, Krammer a construit très récemment des catégories de Garside sur lesquelles agissent les groupes de difféotopies de surface (mapping class groups). La notion de structure de Garside a plusieurs aspects et plusieurs définitions dont aucune ne couvre tous les exemples connus, mais ont toutes en commun de mettre en jeu de façon essentielle l'action d'un groupe sur un treillis. Notre but sera d'analyser ce cadre commun, de construire une théorie unifiée, et de valider celle-ci en l'appliquant à la fois à l'étude de nouveaux exemples issus de l'algèbre et de la topologie, et à celle des exemples fondamentaux tels que les groupes de tresses.