Arbres Aléatoires (continus) et Applications – A3

Les arbres aléatoires continus font l'objet d'une recherche extrèmement active actuellement du fait de leurs nombreuses applications. Nous voulons étudier dans ce projet différents aspects de ces arbres aléatoires : - processus à valeurs arbres continus et marches aléatoires sur des arbres aléatoires Nous voulons définir des processus à valeurs arbres qui seraient les équivalents continus des marches aléatoires à valeurs arbres discrets étudiées par Aldous-Pitman. Ces processus permettraient de donner une nouvelle définition des arbres continus, comme arbres limites de ces processus. Une façon d'étudier la régularité des arbres continus est de considérer des marches aléatoires sur les approximations discrètes des arbres continus. Cette approche a déjà donné des résultats intéressants et nous voulons poursuivre cette étude. - Fragmentation Les processus de fragmentation modélisent des masses qui se disloquent au cours du temps, avec de nombreuses applications en physique, en biologie et en informatique. Certains de ces processus sont obtenus en fragmentant aléatoirement des arbres continus. Cette construction est très riche et nous espérons obtenir des résultats intéressants sur ces fragmentations à l'aide de l'étude des arbres continus. - graphes planaires Les graphes aléatoires ont maintenant de nombreuses applications en physique ou en informatique. Ce projet a pour but d'étudier le comportement asymptotique de ces graphes lorsque leur taille tend vers l'infini, en définissant en particulier les objets limites qui sont des graphes continus . - percolation Nous savons que l'amas infini de percolation en grande dimension converge, après renormalisation, vers l'excursion super-brownienne normalisée (ISE) qui est très liée aux arbres continus. Nous espérons que les études sur les arbres continus permettront d'obtenir des renseignements sur l'évolution de cet amas infini losque la probabilité de percolation est proche de la valeur critique.