Statistique pour la physique quantique – StatQuant

Les progrès technologiques récents autorisent la réalisation d'une grande variété d'états quantiques, et permettent d'envisager l'implémentation des technologies de l'information quantiques (ordinateurs, communication) théorisées ces dernières années. Mesurer un état quantique à partir d'observations, nécessairement aléatoires, est un problème de nature intrinsèquement statistique. Les aspects physiques sont développés depuis quelques années dans de nombreux laboratoires européens, et l'on assiste depuis peu à l'émergence de la problématique statistique. Un état quantique, d'une façon générale, est représenté par un opérateur autoadjoint ? (rho) sur un espace de Hilbert ; une observable est un autre opérateur M = sum_a M_a, où M_a est le projecteur sur l'espace propre associé à la valeur propre a. La mesure de cette observable a pour résultat a avec une probabilité = trace(rho M_a). La statistique quantique consiste à reconstituer ? (rho) à partir d'une succession de ces mesures. En variables discrètes (espace de Hilbert de dimension finie), l'intérêt et la principale difficulté viennent du fait que le système formé de la juxtaposition simultanée de plusieurs systèmes quantiques possède beaucoup plus d'états que ces systèmes considérés séparément. La mesure simultanée donne plus d'information que les mesures séparées, mais elle est plus difficile à réaliser physiquement et à traiter statistiquement. En variables continues, l'état quantique de la lumière dans une cavité peut être représenté par la distribution de Wigner à deux variables (qui permet de retrouver la distribution des observables « champ électrique » et « champ magnétique » comme lois marginales). La technique de mesure dite tomographie quantique homodyne permet de reconstituer cette distribution via un problème inverse : il s'agit d'un problème de statistique plus classique mais pour lequel beaucoup reste à faire. De nouvelles techniques permettent de mesurer la distribution de Wigner dans un problème direct, mais ces méthodes étant coûteuses, un plan d'expérience non paramétrique et une analyse séquentielle doivent être développés pour optimiser l'estimation. Nous nous proposons, dans ce projet, de développer ces aspects : d'une part en optimisant le choix des mesures à faire ; d'autre part en mettant en place de nouveaux estimateurs et tests paramétriques (dimension finie) et non paramétriques (estimation de la distribution de Wigner), en maximisant les performances mesurées selon divers critères (la norme L^1 en particulier pose des problèmes spécifiques), et en analysant de façon plus fine ces performances (normalité asymptotique locale). Une attention particulière sera accordée aux méthodes émergentes pour les systèmes observés en temps continu.