X-SFEM : méthode éléments finis stochastiques étendus pour le calcul de structure à géométrie aléatoire – X-SFEM

La simulation numérique des modèles mécaniques, favorisée par l'essor de la puissance des calculateurs, prend aujourd'hui une place très importante dans des prises de décision qui peuvent avoir des conséquences majeures en termes économiques ou humains. La prise en compte dans le calcul de structure des incertitudes inhérentes au modèle, pouvant porter sur les propriétés matériau, les chargements, la géométrie, semble aujourd'hui incontournable si l'on cherche à obtenir des prédictions numériques « fiables », exploitables dans un processus de conception ou une prise de décision. L'introduction de l'aléa dans la simulation numérique est une tendance aujourd'hui en plein essor dans le monde scientifique et industriel, et a notamment conduit à un rapide développement de nombreuses méthodes numériques ad-hoc. Les méthodes éléments finis stochastiques répondent à cette problématique en permettant l'obtention de prédictions d'une grande qualité. La prise en compte d'incertitudes portant sur le matériau et les chargements sont des points aujourd'hui bien maîtrisés dans le cadre de ces techniques. Le traitement de géométrie aléatoire est cependant un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications : modélisation des incertitudes liées à un procédé de fabrication, des pertes de matière par corrosion, des matériaux multi-phasés aléatoires ... Le calcul de structure à géométrie aléatoire peut bien sûr être mené par une approche de type Monte-Carlo. L'utilisation d'une technique éléments finis classique nécessite alors des remaillages à chaque réalisation de la géométrie, ce qui rend le calcul prohibitif. Les techniques alternatives, consistant à introduire une variabilité sur la position des n?uds du maillage, engendrent des distorsions intolérables du maillage et nécessitent également des remaillages. Le projet apporte une réponse à cette problématique en proposant une nouvelle méthode éléments finis stochastiques permettant de prendre en compte le caractère aléatoire de la géométrie en évitant les problèmes de remaillage. Cette méthode est basée sur une extension au cadre stochastique de la technique X-FEM (méthode éléments finis étendus). Elle repose sur deux points importants : la description fonctionnelle implicite de la géométrie par la technique des level-sets et l'utilisation de la partition de l'unité pour l'enrichissement de l'espace d'approximation. Le calcul est alors opéré sur un seul maillage ne respectant pas les frontières physiques. Cette méthode, baptisée X-SFEM, permet d'obtenir par un calcul direct une solution explicite en fonction des variables décrivant le caractère aléatoire de la géométrie. Au cours d'une analyse probabiliste, cette méthode ne constitue que la phase de modélisation numérique ; deux autres aspects de l'analyse probabiliste doivent être également parfaitement maîtrisés. En amont, le modèle probabiliste doit être alimenté par des données pertinentes. Cela nécessite tout d'abord de nombreux échantillons, constituant un ensemble représentatif de réalisations de l'aléa, mais aussi des techniques robustes d'identification de variables ou de champs aléatoires. Les campagnes expérimentales ou de mesures in situ sont généralement très coûteuses, ce qui limite le nombre d'échantillons disponibles et donc la qualité de l'identification probabiliste. Un autre objectif du projet est de fournir un outil simple et efficace, basé sur l'analyse d'images, permettant d'obtenir un ensemble de réalisations d'une géométrie aléatoire sous une forme directement exploitable pour le calcul par la méthode X-SFEM. Le principe de cette approche repose sur la génération automatique, à partir d'images, des level-sets représentant les réalisations de la géométrie. En aval, il faut disposer d'outils de résolution robustes et performants permettant d'obtenir la solution du modèle numérique. La méthode X-SFEM proposée est une méthode éléments finis stochastiques intrusive. Ces