Decompositions Tensorielles et applications – DECOTES

CONTEXTE SCIENTIFIQUE ET OBJECTIFS - De nombreux travaux de recherche publiés dans la littérature ces dix dernières années ont nécessité le recours aux tenseurs. Tout d'abord les Statistiques d'Ordre Élevé (SOE) sont des objets intrinsèquement tensoriels, largement utilisés dans la mise en oeuvre des techniques aveugles, en traitement du signal en général, et en télécommunications en particulier; plus récemment, un certain nombre d'applications des SOE dans le domaine biomédical commencent également à voir le jour. Ensuite en Analyse de Données, l'analyse de facteurs multi-voies nécessite le calcul de décompositions tensorielles canoniques, et est de plus en plus largement utilisée notamment en chimie, et plus particulièrement en agro-alimentaire. D'autres applications incluent le traitement d'antenne (notamment en présence de mauvaise calibration), l'analyse de facteurs en économie, pharmacie, ou psychologie, le débruitage, le traitement des images couleur, la complexité arithmétique, l'apprentissage automatique, la compression... En réalité, pratiquement tous les domaines faisant appel aujourd'hui a l'Analyse en Composantes Principales (ACP) peuvent être amenées à utiliser l'Analyse de Facteurs tensorielle. - Malgré ces domaines applicatifs nombreux et en plein essor, très peu d'algorithmes numériques sont disponibles pour le calcul des décompositions canoniques. Les quelques rares algorithmes numériques à disposition sont d'un usage très limité, soit parce qu'ils fonctionnent en dimension 2 sur toutes les voies, soit parce qu'ils requièrent un rang tensoriel de valeur faible (inférieur à sa valeur générique) afin de garantir l'unicité. Cette dernière hypothèse est suffisante mais très vraisemblablement non nécessaire. En outre, l'algorithme le plus connu, largement utilisé à travers le monde, dénommé Parafac, exécute une minimisation alternée sur des sous-ensembles de variables, et converge donc très lentement. Au delà des défauts avérés des procédures de minimisation alternées, une des causes principales de la lenteur de Parafac est sans doute que cet algorithme vise à résoudre un problème d'approximation d'un tenseur par un autre de rang plus faible, sans qu'il soit garanti que l'ensemble des tenseurs de rang inférieur soit fermé. Les améliorations successives à cet algorithme ces vingt dernières années n'ont pas permis de s'affranchir des ses principales limitations, à savoir: l'hypothèse de rang sous-générique, et la régularisation du problème mal posé. - Ce projet de recherche a pour objectif de résoudre à la fois les points bloquants théoriques précités, et de mettre au point des algorithmes numériques performants orientés vers quelques applications phare. - - DESCRIPTION DU PROJET ET METHODOLOGIE - Durant une première phase du projet, les résultats théoriques seront recherchés, tels que l'identifiabilité (unicité) du modèle de décomposition tensorielle, les propriétés topologiques des tenseurs de rang réduit, et le problème de l'approximation. Plusieurs pistes ont été d'ores et déjà identifiées. L'existence du rang générique a été prouvée dans le corps des complexes, mais l'absence de rang générique a été soulignée dans le corps des réels (résultat récent d'une collaboration commune I3S-INRIA-Stanford). Cette piste sera poursuivie. Dans le même esprit, les outils de géométrie algébrique seront utilisés pour étudier les propriétés topologiques; le problème de l'approximation d'un tenseur par un autre de rang plus faible devra être bien posé. Ceci débouchera nécessairement sur de nouveaux algorithmes. Le cas de rangs sur-génériques sera étudié ensuite. - La deuxième phase débutera un an après le démarrage, et comprendra les applications au diagnostic médical non invasif d'une part, et aux télécommunications d'autre part. I3S a déjà collaboré avec le partenaire SPM/Thales et, dans une moindre mesure pour l'instant, avec IS2M/LTSI, sur ces deux domaines applicatifs des tenseurs. - Le choix des partenaires de ce c